SOBRE LA DENSIDAD DE LOS PALÍNDROMOS

Antonio Casao me manda una fórmula ciertamente complicada para la probabilidad de que un número sea palindrómico en un intervalo determinado, propuesta por Jason Robert. Es ésta:

Será correcta (no lo he comprobado), pero me parece completamente inmanejable y, peor, incomprensible. Por mi parte me parece mucho más sencillo (aunque sólo aproximado) buscarla mediante el siguiente razonamiento.

Examinemos la frecuencia en la aparición de palíndromos según los intervalos:

Intervalo (I,S)	Número de palíndromos en el intervalo	Logaritmo decimal de S+1
1-9 10-99 100-999 1000-9999 10000-99999 100000-999999 ……. 10^2n-2-10^2n-1-1 10^2n-1-10^2n-1	9 9 90 90 900 900 …… 9×10^n-1 9×10^n-1	1 2 3 4 5 6 ….. 2n-1 2n

Según la tabla, si llamamos Np[10^k,10^k+1-1] al número de palíndromos en el intervalo [10^k,10^k+1-1], resulta:

Np[10^2n-2,10^2n-1-1] = 2n-1

Np[10^2n-1,10²ⁿ-1] = 2n

De donde, sumando, fácilmente se obtiene el número total de palíndromos hasta la cota L = 10²ⁿ-1:

Y de ahí resulta inmediatamente que la probabilidad de que un número en el intervalo [A,B] sea palíndromo será:

Hay que insistir en que esta fórmula, aunque mucho más sencilla, es sólo aproximada, ya que hemos supuesto que la variación en la densidad de los palíndromos se produce de manera continua, cuando en realidad lo es a saltos en cada intervalo.

JMAiO, jul 99