Cubo de cubos

 

Mi colega Miguel Bronchalo plantea el siguiente problema:

 

«Recuerdo que allá por los años 50 pusieron en Caminos un problema para el ingreso muy original, y yo, ahora, en este momento, estoy intentando resolverlo sin saber si lo hago bien o mal, pero comprobando en todo caso que en aquella ocasión no habría conseguido ingresar porque he tardado demasiado tiempo en resolverlo (si es que lo he resuelto), y en aquella ocasión seguro que no habrían dado tanto tiempo para la prueba. Seguro.

 

Retrotraigo aquí el problema para ver si algún colega matemático con mejor memoria y capacidad de cálculo que la mía mejora mis planteamientos y me dice a la vez el tiempo que dieron entonces para resolverlo, para comprobar cuánto me habría faltado en aquella ocasión para ingresar. Mi intención no es sólo ésa. Tengo

también interés en ponderar hasta qué grado se pierde la mente cuando opera con números tan extraordinariamente grandes como el que se produce con el problema de mi recuerdo.»

 

El problema era éste:

 

Se construye un cubo formado por n3 cubitos pequeños y se pintan de rojo las caras externas. Aparece entonces un ciego y da una patada al conjunto, desbaratándolo. Se pregunta qué probabilidad tiene el ciego de reconstruir el cubo de manera que todas las caras externas vuelvan a quedar rojas.

 

Solución:

 

Recuerdo el problema, aunque a mí me lo plantearon para el caso más sencillo,

n = 3. Pero se generaliza fácilmente.

 

Lo enfocaremos mediante técnicas combinatorias, calculando cuántos cubos son posibles y cuántos cumplen con la condición de conservar las caras externas pintadas.

 

Para ello, imaginemos los n3 cubitos numerados. Claro es que pueden disponerse de (n3)! maneras posibles. Pero cada cubito puede colocarse apoyado sobre cada una de sus 6 caras, y con 4 orientaciones distintas, es decir, de 24 maneras posibles. Por tanto, el número de cubos posibles es:

Una vez pintado el cubo, hay tres clases de cubos elementales:

 

1.-  Los situados en una esquina (tres caras concurrentes en un vértice pintadas). En total 8 (una por vértice).

 

2.- Los situados en una arista (dos caras pintadas limitadas por una arista). Hay 12 aristas, y cada una contiene (n - 2) cubitos, o sea, en total, 12(n - 2).

 

3.- En el resto de las caras exteriores (una sola cara pintada). Hay 6 caras del cubo compuesto, y cada una contiene (n - 2)2 caras elementales. En total, 6(n - 2)2.

 

4.-  En el interior del cubo (ninguna cara pintada). En total, (n -2)3.

 

Observemos, de paso, que como es natural la suma de todas ellas es n3, pues el conjunto de todos los términos evaluados forman la expresión del desarrollo del binomio de Newton:

 

 

Calculemos ahora las formas posibles en que cada uno de los cubos elementales puede estar colocado cumpliendo la condición de mantener el cubo resultante pintado exteriormente. Seguiremos el mismo orden numérico.

 

1.-  Esquinas.- Cada uno de los 8 cubitos puede estar colocado de 3 maneras distintas. Por tanto:

2.- Aristas.- Cada cubito puede estar colocado de 2 formas distintas. O sea:

 

 

3.- Resto caras exteriores.- Cada cubito puede estar colocado con su cara pintada mirando al exterior de 4 formas distintas. O sea:

 

4.- Centro del cubo.- Como en el cubo total, cada cara tendrá 24 grados de libertad. O sea:

 

 

Por tanto, la probabilidad o cociente favorables/posibles valdrá:

 

 

 

Los primeros valores de n, obtenidos con ayuda del programa Mathematica, son:

 

n

p

2

1/88 =  2,95658 ‰ 10-12

3

1,829805 ‰ 10-37

4

7,804331 ‰ 10-85

5

1,569887 ‰ 10-155

6

1,175955 ‰ 10-241

 

Josep Maria Albaigès, Barcelona, diciembre 2007

(El autor agradece la inestimable colaboración de Pedro Crespo)