COMENTARIOS SOBRE EL PROBLEMA DE LOS PISTOLEROS

El que llamaremos “problema de los pistoleros”, expuesto por M. A. Lerma en [C-74], tiene el siguiente enunciado:

Sea un grupo de n pistoleros. Cada uno elige al azar a cualquiera de los otros, y a la señal de “ya” todos disparan y matan al individuo elegido. El proceso continúa hasta que sólo queda un pistolero vivo o hasta que todos han caído muertos. ¿Cuál es el límite, para n tendiendo a infinito, de la probabilidad de que al final quede un superviviente?

Pedro Crespo, de Barcelona, estima que en general se trata de un problema NP, y sólo resulta abordable mediante la simplificación de hallar el límite para n ®µ. Ha mandado una detallada aproximación a la solución, que por razones de espacio no podemos incluir en [C].

Si acudimos a casos simplificados, vemos que para n = 2 el problema es muy simple: la probabilidad es 0, pues sólo cabe una posibilidad: que cada pistolero apunte al otro, con lo que ambos resultarán muertos.

Si n = 3, cada posible “ronda de disparos”, atendido a que un pistolero no se tira a sí mismo, responde como casos posibles a las permutaciones con repetición de elementos (los otros dos en cada caso) tomados 3 a 3, o sea PAR(3) = 2³ = 8. Los casos favorables (que implican muerte de todos) son aquéllos en que no hay repetición en los blancos elegidos, o sea la permutaciones sin repetición de 3 elementos, P(3) = 3! = 6. Por tanto, p = 6/8 = 0,75. La contraria es q = 0,25.

Pero al pasar a 4 pistoleros la cosa se complica. Pues ahora los casos posibles son PAR(3) = 3⁴ = 81, pero de entre los favorables, las permutaciones absolutas P(4) = 4! =24, conducen a la aniquilación de todos, pero otras conducen a la aniquilación de uno o de 2, con lo que empieza un proceso arborescente de probabilidades que se complica geométricamente al ir aumentando el número de pistoleros.

Nos ha parecido lo más lógico tratar el problema por el método de Monte-Carlo, y mediante el mismo obtenemos resultados ciertamente curiosos. La probabilidad de que haya un superviviente (complementaria de la pedida) parece tender, como ya sugería Pedro, a 0,50, pero no de una manera asintótica ordinaria, sino mediante una serie de oscilaciones de una ampltud importante (del orden de ±0,05), que no se amortiguan incluso para valores relativamente altos, de n = 3000.

Se han efectuado 200.000 ensayos para 38 valores distintos de n, obteniendo la gráfica adjunta.

JMAiO, oct 02