UN COMENTARIO A LA LEY DE BENFORD
Es bastante conocido el hecho de que las cifras numéricas representativas de magnitudes con un amplio grado de variación aparecen con tanta mayor frecuencia cuanto menor es la cifra inicial. Para ser exactos, con arreglo al logaritmo decimal de la cifra siguiente menos el de la cifra considerada. Observemos la siguiente tabla, en que c es la cifra inicial:
|
c |
log(c+1) |
log(c+1)-log(c) |
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1 |
0,301 |
0,301 |
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2 |
0,477 |
0,176 |
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3 |
0,602 |
0,125 |
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4 |
0,699 |
0,097 |
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5 |
0,778 |
0,079 |
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6 |
0,845 |
0,067 |
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7 |
0,903 |
0,058 |
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8 |
0,954 |
0,051 |
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9 |
1,000 |
0,046 |
Las cantidades iniciadas en 1 aparecerán el 30,1 % de las veces, pues log(2) – log(1) = 0,301. Análogamente, las iniciadas en 2, aparecerán el 17,6 % de las veces, etc.
Newcomb demostró en 1981 esa ley para grupos de números representativos de mediciones que provengan de una pluralidad de efectos y tengan un amplio espectro de magnitud: la probabilidad de que el número correspondiente comience por el dígito c es p = log(1+c) – log(c) = log (1+1/c). Quizá la mejor forma de comprenderla matemáticamente es pensar que de ninguna forma la distribución de los números que midan valores variables de una magnitud puede verse afectada por la unidad utilizada, por lo que esta distribución no se alterará variando arbitrariamente dicha unidad. Pero este cambio se obtiene multiplicando todas las magnitudes por un mismo número (la razón entre las dos unidades de medición), lo que equivale a sumar a sus logaritmos una constante. Y la única forma de que dicha distribución de logaritmos no se vea alterada es que sea uniforme. De donde resultará la distribución anterior.
Hemos visto innumerables artículos sobre matemáticas recreativas que se ocupan del fenómeno. Y muchos incurren en perpetuar el mismo error: que las primeras páginas de las tablas de logaritmos están más gastadas por ese efecto.
En realidad, eso ocurría antes, y fue la señal que disparó el interés por el fenómeno. Pero pronto los confeccionadores de tablas de logaritmos se dieron cuenta de esa anomalía, y la corrigieron instintivamente otorgando más espacio a los primeros números. Así, si por ejemplo la tabla va desde 100 hasta 1.000, es frecuente que las entradas aumenten de décima en décima de unidad entre 100 y 200 ó 300, y de unidad en unidad a partir de ese valor. Habrá observado esta peculiaridad quien maneje tablas de logaritmos (cosa cada vez menos frecuente, por la facilidad de cálculo que suponen las calculadoras).
En efecto, si las tablas de logaritmos fueran elaboradas con la misma precisión en todo su recorrido, ésta (digamos seis decimales) resultaría insuficiente en los valores más cercanos a 1.000, en los que las diferencias tabulares (diferencias entre dos números consecutivos) es mayor, lo que introduciría errores en el cálculo de logaritmos intermedios. Las tablas de Vázquez Queipo, por ejemplo, van desde 200 hasta 2.000.
La ley de Benford se aplica en multitud de campos, por ejemplo en distribuciones aleatorias de los números de una contabilidad, y de paso sirven de test para comprobar si éstos son realmente aleatorios u obedecen a algún plan premeditado, según que se sujeten a esa ley o no. ¡Astucias de los auditores!