EL CIRUJANO MÁS COMPETENTE

En el libro de Y. Jurguin Bueno, ¿y ahora qué…? se plantea una curiosa pregunta a propósito del grado de confianza en un experimento:

—Supongamos que tiene Vd. que someterse a una operación quirúrgica, y puede elegir entre dos cirujanos. Al primero le han salido bien 90 de 100 realizadas, y al segundo 9 de 10 también realizadas. ¿Cuál elegiría Vd.?

—Bueno, sin duda al primero. A fin de cuentas, hay que valorar también la experiencia.

—Y si al primero le hubieran salido bien solamente 85, ¿continuaría Vd. prefiriéndolo al segundo?

—Bueno, no sé…

Puede ampliarse aún más la pregunta: ¿Qué porcentaje de éxitos del primer cirujano igualaría el grado de confianza que debemos prestar a ambos?

…oooOOOooo…

Planteada en términos estrictamente estadísticos, la pregunta no tiene respuesta. La probabilidad estimada de éxito para cada uno de los dos cirujanos es p = 0,9, y nada más se puede concluir a partir de aquí.

Sin embargo, existe lo que se llama “probabilidad subjetiva”, que escapa a las leyes de la matemática. Mucha gente preferiría 100.000 € a la probabilidad de un 10 % de 1.000.000 de €, y ante esta preferencia subjetiva nada puede objetarse a priori.

Intentemos aproximarnos con un enfoque de este tipo a la cuestión de los dos cirujanos, docimando en primer lugar la fiabilidad de la conclusión de que cada uno tiene una probabilidad de éxito de 0,90. En realidad este valor es una estimación de la probabilidad verdadera, obtenida mediante experimentos, pero que desconocemos en cada uno de los dos casos.

Empecemos por el primer cirujano. En realidad su probabilidad de éxito es p₁, valor desconocido. Todos los valores p₁ que darían como media 90 éxitos sobre 100 ensayos, son una infinidad, pero la media de estos valores es:

La desviación típica de estos valores de la media viene relacionada con la propia desviación típica del conjunto ensayado, que, como es sabido, vale s = Ö(pq/n). Concretamente, la media de las desviaciones típicas de la media p₁ vale:

Si utilizamos este valor para docimar la bondad de nuestra estimación anterior, vemos que, suponiendo una distribución normal de las distintas medias de p₁, existe una probabilidad del 68 % de que p₁ se halle en el intervalo 0,90 ± 0,03, es decir, entre 0,87 y 0,93. Podremos considerar por tanto el valor p₁ = 0,90 como bastante ajustado al real.

Apliquemos el mismo método al segundo cirujano. Ciertamente que también ahora es

Pero en cambio la media de la desviación típica de la media es ahora:

Por tanto, existe una probabilidad del 68 % de que la probabilidad del segundo cirujano se halle en el intervalo 0,90 ± 0,105. Es decir, que el intervalo que va desde 0,80 a 1,00 captura el 68 % de la probabilidad de que la probabilidad del cirujano sea 0,90.

(Nota: en el intervalo anterior se daría en caso absurdo de una probabilidad mayor que la unidad; esto es debido a que la distribución de la probabilidad es sólo aproximadamente normal. Pero el razonamiento, como orden de magnitud, es sobradamente válido.)

Es decir, que el valor real de la probabilidad podría ser superior (incluso acercarse mucho a 1), pero también bastante inferior, 0,80 o incluso menos.

En estas circunstancias, la elección viene a ser un cara o cruz. ¿Qué es preferible: un cirujano del cual sabemos, con bastante fiabilidad, que podemos morir con una probabilidad de un 10 %, u otro en que a lo mejor ésta es cercana al 0 %, pero también podría ser del 20 % o más? Nuevamente estamos ante un juego de azar, pero en esta ocasión bastante más acotado que al principio.

La segunda parte de la pregunta es de más difícil respuesta todavía, por ahondar más en la cuestión subjetiva.

Repitamos el cálculo anterior para los siguientes valores estimados de p₁. Llamaremos L_inf, L_sup a los valores inferior y superior entre los cuales existe una probabilidad del 68 % de que se encuentre p₁.

p	s1	Linf	Lsup
0,80	0,04	0,76	0,84
0,82	0,04	0,78	0,86
0,84	0,04	0,80	0,88
0,86	0,04	0,82	0,90
0,88	0,03	0,85	0,91
0,90	0,03	0,87	0,93

Obsérvese que, frente al amplio intervalo que capturaba el 68 % de probabilidad en el segundo cirujano, los intervalos son aquí más estrechos, pero circunscritos a unos valores más reducidos. Por ejemplo, para p₁ = 0,84, el límite inferior vale 0,80, casi igual al del segundo cirujano, pero el superior es sólo de 0,88. Seguro que el primer cirujano no es tan excepcional como a lo mejor podía llegar a ser el segundo.

La elección es puramente una cuestión de gustos del paciente.

Josep M. Albaigès

Barcelona, dic 04