CÁLCULO DE LA FUNCION DE GAUSS
PARA VALORES ALTOS DE X
La función de densidad
de Gauss juega un papel de primer orden en la Estadística. Su familiar
expresión matemática es:
Su integral es
conocida con el nombre de F(x):
Esta nueva función
rige la función de distribución normal, correspondiendo a la probabilidad de
que la variable aleatoria definida por la función de densidad tome un valor
inferior a uno determinado. Es decir, que si es X la variable aleatoria, se
cumple:
Prob(X≤x)
= F(x)
Ambas funciones vienen
habitualmente tabuladas en todos los manuales de estadística. Veamos un resumen
de sus valores:
|
x |
Φ(x) |
Φ(x) |
|
0 |
0 |
0,50000 |
|
0,5 |
0,35207 |
0,69146 |
|
1,0 |
0,24197 |
0,84134 |
|
1,5 |
0,12952 |
0,93319 |
|
2,0 |
0,05399 |
0,97725 |
|
2,5 |
0,01753 |
0,99379 |
|
3,0 |
0,00443 |
0,99865 |
|
3,5 |
0,00087 |
0,99977 |
|
4,0 |
0,00013 |
0,99997 |
Para los valores
negativos de x, recuérdese que j(-x)
= j(x); F(-x) = 1 - F(x).
Las tablas sólo suelen
extenderse hasta valores de x del orden de los indicados, pues a partir de ahí
las funciones son respectivamente muy próximas a 0 ó 1.
Sin embargo es
frecuente, en cálculos sobre elevados valores del CI (Cociente Intelectual) por
ejemplo[1],
necesitar valores precisamente en esta zona. En ella no ofrece dificultad el
cálculo de f(x), pero sí el de F(x)
por cualquiera de los sistemas habituales de integración por aproximaciones.
Puede salvarse este
obstáculo mediante el siguiente procedimiento. Supongamos que se trata de
calcular el valor de F(a),
siendo a un valor elevado. Será más conveniente calcular su diferencia con la
unidad, escribiendo:
Haciendo
el cambio t=u+a, esta expresión se
nos transforma en:
Integrando
por partes, pronto se llega finalmente a:
La
integral definida del corchete puede ser calculada con total precisión pese a
extenderse hasta infinito descomponiendo el intervalo de integración en dos
partes. La primera, hasta un valor k tal que F(k)
@ 1 (p. ej., k=5), puede ser calculada por
cualquier procedimiento aproximado (v. gr. Simpson), y para el resto puede
tomarse F(u)
= 1, con lo que, llamando F a la función subintegral, se tiene con suficiente
aproximación:
Por estos
procedimientos ha podido calcularse sin dificultad el valor de la función F(x) hasta x =
13, con los siguientes resultados:
|
x |
1-F(x) |
x |
1-F(x) |
|
0 |
5,0000*10-1 |
|
|
|
0,5 |
3,0854*10-1 |
7,5 |
3,2258*10-14 |
|
1 |
1,5866*10-1 |
8 |
6,3167*10-16 |
|
1,5 |
6,6807*10-2 |
8,5 |
9,6800*10-18 |
|
2 |
2,2750*10-2 |
9 |
1,1607*10-19 |
|
2,5 |
6,2097*10-3 |
9,5 |
1,0889*10-21 |
|
3 |
1,3499*10-3 |
10 |
7,9919*10-24 |
|
3,5 |
2,3262*10-4 |
10,5 |
4,5890*10-26 |
|
4 |
3,1664*10-5 |
11 |
2,0616*10-28 |
|
4,5 |
3,3902*10-6 |
11,5 |
7,2465*10-31 |
|
5 |
2,7912*10-7 |
12 |
1,9930*10-33 |
|
5,5 |
1,9028*10-7 |
12,5 |
4,2888*10-36 |
|
6 |
9,8982*10-10 |
13 |
7,2216*10-39 |
|
6,5 |
4,0364*10-11 |
|
|
|
7 |
1,2895*10-12 |
|
|
Se han dado estos
resultados principalmente a título de curiosidad, ya que, como puede verse,
para valores de x superiores a 5 se alcanzan valores para la probabilidad del
orden de la diezmillonésima, muy superiores a los exigidos en cualquier club
serio de alto CI, por muy selecto que sea.
Barcelona, noviembre
1987