BUSCÁNDOSE EN LA PIRÁMIDE
Me sucedió en 1996 en la
cima de la pirámide de Kukulkán, en Chichén Itzá (México). Mi hermano
y yo estábamos uno en cada esquina del edificio cuadrado que la corona
buscándonos sin encontrarnos. Y entonces se me ocurrió la generalización de
este problema.
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A |
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B |
Dos personas se hallan en
esquinas opuestas de un edificio, A y B.
Ambas tienen interés por encontrarse, y por ello se pondrán en camino hacia una
de las esquinas contiguas, pero, ¿y si eligen mal? Es fácil ver que si ambos se
mueven paralelamente no se encuentran, y sí lo hacen moviéndose los dos hacia lamisma esquina. Por tanto, si cada jugador elige
arbitrariamente su movimiento, la probabilidad de encuentro será ½: por término
medio el encuentro les llevará 2 desplazamientos, pero pueden ser más.
Una posible alternativa
sería quedarse quieto esperando que sea el otro quien venga a nuestro
encuentro, pero, ¿y si ambos aplican la misma táctica?
Para simplificar el problema,
considerémoslo como un juego dividido en “tiempos” En cada tiempo, cada
“jugador” mueve simultáneamente, y su “jugada” puede ser una de estas tres:
·
Moverse hacia la derecha (D).
·
Moverse hacia la izquierda (I)
·
Permanecer quieto (O)
Consideraremos que dos jugadores se encuentran si
sus movimientos les llevan a la misma esquina o a dos esquinas contiguas, pues
entonces se avistan mutuamente. ¿Cuál será la mejor estrategia para maximizar
las probabilidades de encontrarse?
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El problema entra en los resolubles mediante la
Teoría de Juegos. Escribamos en una matriz todas las posibles jugadas de ambos
jugadores, representando el resultado de la jugada como un 1 si los jugadores
se encuentran, y como 0 en caso contrario
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Segundo jugador
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D |
I |
0 |
Pri-
mer jugador |
D |
0 |
1 |
1 |
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I |
1 |
0 |
1 |
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O |
1 |
1 |
0 |
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La teoría de juegos lleva a diseñar la mejor
estrategia: jugar D, I o O, según sorteo, con probabilidades 1/3 cada una. En
estas condiciones la probabilidad de encontrarse es 2/3, con lo que se mejora
el “tiempo medio de encuentro” a 1,5 jugadas.
¿Qué ocurrirá para edificios pentagonales, hexagonales, etc.? La cosa
se complica, pues cada movimiento conduce a una nueva situación, en la que la
probabilidad de encontrarse depende de la situación inicial: si los jugadores
no se avistan se encuentran a una distancia de 2 lados por el camino más corto.