ARITMÉTICA PITAGÓRICA: LAS MEDIAS

ANTECEDENTES: LAS MEDIAS CLÁSICAS ELEMENTALES

Primera media o media aritmética. El estudio de las medias posibles entre dos números fue ampliamente tratado por los matemáticos pitagóricos. La más natural, llamada "media aritmética" o simplemente "promedio", ha sido conocida por todos los pueblos. Su expresión matemática es:

La principal propiedad de esta media es su equidistancia con los términos extremos, que es lo mismo que decir que la terna (a,m,b) forma una progresión aritmética. De ahí el nombre de la media.

Pero los pitagóricos dedujeron multitud de medias más. Para proceder a su descripción sistemática, llamaremos:

-a: término mayor

-b: término menor

-d: diferencia entre ambos, o sea d = a-b

-a: diferencia entre el término mayor y la media, o sea a = a - m

-b: diferencia entre la media y el menor, o sea b = m - b.

Obviamente, es siempre a+b = d. Observemos también que los valores (b,m,a) forman siempre una sucesión creciente. Llamaremos por ello "términos extremos" a los a y b, y término central al m. Los "términos mayores" serán (a,m), y los "términos menores" los (b,m).

Con ayuda de estos símbolos y terminología, traduciremos la propiedad antes indicada de la media aritmética, o primera media de los pitagóricos:

α = b

Segunda media o media geométrica. Una segunda media, la que hoy llamamos geométrica, surge al imponer la condición de que el término central es al menor como el mayor al central. Algebraicamente:

De donde resulta, en notación moderna:

Incidentalmente, de ahí resulta también:

Y también otra interesante relación entre los intervalos:

Finalmente, se cumple en esta media que m² = ab, es decir, que un cuadrado de lado igual a la media tiene un área equivalente a la de un rectángulo definido por los términos extremos como lados. De ahí el nombre de media geométrica, por su relación con la construcción de figuras y cuadratura de éstas, problema que tenía muy sensibilizados a los matemáticos antiguos.

Tercera media o media harmónica. La tercera media, también muy conocida, es llamada harmónica, y resulta de imponer la condición de que las dife-rencias sean proporcionales precisamente a los términos, como ocurre en la terna (3,4,6), donde

En general:

Modernamente, tiende a interpretarse esta media diciendo que la sucesión de los inversos de los tres números forma progresión aritmética. O, de otra forma, que la inversa de la media harmónica es la media aritmética de los inversos de los términos. En ambos casos, se obtiene sin dificultad la fórmula de esta media:

El origen del nombre radica en las propiedades musicales de las notas emitidas por cuerdas de igual tensión correspondientes a cuerdas de longitudes en proporción harmónica. Por ejemplo, en el llamado "acorde perfecto", do-mi-sol estas longitudes son (15,12,10).

OTRAS MEDIAS PITAGÓRICAS CLÁSICAS

Hasta aquí, todo es bastante conocido. Pero los pitagóricos avanzaron bastante m s en este terreno. Para empezar, definieron una cuarta media, la antiharmónica, donde los intervales est n en razón inversa a los extremos:

De donde resulta .

Un ejemplo es la terna (3,5,6), donde es fácil advertir que los intervalos están invertidos respecto a la harmónica (3,4,6) vista anteriormente.

En la quinta media de los pitagóricos, la razón entre los intervalos es igual a la razón entre los términos menores:

Esto se da, por ejemplo, en la sucesión (2,4,5). El cálculo general, en notación moderna, conduce a la resolución de la ecuación de segundo grado:

m² - (a - b)m – b² = 0

La sexta media es similar. En este caso, la razón entre los intervalos es igual a la razón entre los términos mayores:

Un ejemplo es la sucesión (1,4,6). Nuevamente llegamos a una ecuación de segundo grado:

m² - (a - b)m – a² = 0

Observemos que las medias 2^a, 4^a, 5^a y 6^a agotan todas las posibles combinaciones del cociente α/β con los valores de la terna (b,m,a).

MEDIAS DE LOS EPÍGONOS PITAGÓRICOS

Las anteriores medias fueron las definidas y utilizadas por los pitagóricos clásicos. Pero, por influencia de la sacralidad del número tetraktys (el 10, igual a la suma de los cuatro primeros), los sucesores de Pitágoras definieron otras medias para conseguir que el número de éstas fuera 10, para lo cual utilizaron nuevas igualdades, con auxilio esta vez de la diferencia entre los extremos δ. Fueron las siguientes:

Séptima media. La diferencia entre los menores es a la diferencia entre los extremos como el menor es al mayor. O sea:

De donde m = 2b – b²/a. Un ejemplo: (6,8,9).

Octava media. Similar a la anterior: la diferencia entre los mayores es a la diferencia entre los extremos como el menor es al mayor. O sea:

De donde m = a - b + b²/a. Un ejemplo: (6,7,9). Observemos que las diferencias están ahora invertidas, como ocurría en la cuarta media respecto de la tercera.

Novena media. La diferencia entre los menores es a la diferencia entre los extremos como el término menor es al central. O sea:

Nuevamente nos vemos conducidos ahora a una ecuación de segundo grado:

m² - bm - b(a-b) = 0

Una sucesión regida por esta media es (4,6,7).

Décima media. Complementando la anterior, la diferencia entre los mayores es a la diferencia entre los extremos como el término menor es al central. O sea:

Y también ahora tenemos una ecuación de segundo grado:

m² - am + b(a-b) = 0

Sin embargo, observemos que las soluciones de ésta son:

m = [a ± (a-2b)]/2

Es decir, (a-b) y b. Por tanto, esta décima "media" no es en rigor tal, sino el término menor, o la diferencia entre ambos cuando ésta queda entre los valores b y a. Debe, pues, ser considerada como una media falsa, definida por inadvertencia. Una sucesión regida por esta media es (3,5,8), pero también (3,3,8).

LOS POST-PITAGÓRICOS

Giordano Bruno añadió una undécima media al grupo anterior: la diferencia entre los mayores es a la diferencia entre los extremos como el central es al mayor:

De donde m = a²/(2ª - b). Un ejemplo: (3,4,6). Esta media fue definida sin duda para colmar el defecto de la décima media, falsa como acabamos de ver.

ADDENDA

Queda todavía otra posible combinación entre los términos que estamos manejando:

Sin embargo, un ligero análisis descubre enseguida que esta media es tan falsa como la décima, pues se reduce al término mayor, a. Por ello debe, en rigor ser considerada como auténtica décima media pitagórica la de Bruno.

Modernamente se han definido otros tipos de medias con ayuda de la potenciación. La expresión general de la media potencial de orden k-simo es:

Observemos que de ellos resultan, como casos particulares, las tres primeras medias para los respectivos valores 1, 0 (mediante paso al límite) y -1. También la conocida media cuadrática:

Esta media potencial puede extenderse fácilmente a más de dos números. Es curioso observar que cuando k → -∞, la media tiende al menor valor del grupo, mientras que cuando k → ∞, la media tiende al mayor.

JMAiO, sep 93