El problema de  la palindromización

 

Definamos previamente la “operación palindromizadora”, esto es: dado un número entero, sumarlo con su reflejado especular, y repetir a operación hasta obtener un palíndromo.

Por ejemplo, partiendo de 482:

 

482 + 284 = 766

766 + 677 = 1443

1443 + 4884

 

En este caso, se ha alcanzado la palindromización en tres pasos.

 

El “problema de la palindromización” es: ¿Se alcanzará siempre un palíndromo por este procedimiento? De hecho, hasta varios millones de números ensayados informáticamente, siempre se ha alcanzado un palíndromo… salvo con el 196 (y, naturalmente, sus derivados: 691, 887, 788, etc.).

 

Claro está que esto no supone ninguna prueba. ¿Qué ocurrirá, por ejemplo, con los números de varios miles de cifras? Vamos a examinar el problema más de cerca.

 

Un número de n cifras se palindromizará en un paso si la suma de cada una con su “simétrica” es inferior a 10. Suponiendo que éstas se presentan aleatoriamente, la probabilidad de que esto ocurra es (1/2)n, como podemos ver en la tabla adjunta; p = (9+8+7+…+1)/90 = 45/90 = 0,5.

 

 

 

Última cifra

 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Primera cifra

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

2

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

3

x

x

x

x

x

x

x

 

 

 

4

x

x

x

x

x

x

 

 

 

 

5

x

x

x

x

x

 

 

 

 

 

6

x

x

x

x

 

 

 

 

 

 

7

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

8

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

9

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si no se palindromiza, obtendremos un número del mismo número de cifras si la primera más la última suman menos de 9, lo que ocurre también en el 50 % de los casos.

 

Podemos, pues, estimar, que por término medio, el número resultante de la primera palindromización tendrá n + ½ cifras.

 

Vamos ahora a establecer un supuesto crucial: que las cifras del número resultante de cada intento sean también aleatorias. Por tanto, la probabilidad de que éste se palindromice al segundo intento será:

 

 

Al tercero:

 

 

Y así sucesivamente. La probabilidad de que se palindromice al k-simo intento es:

 

 

Examinemos ahora la probabilidad de que el número no se haya palindromizado al menos una vez tras k intentos. Valdrá:

 

 

Tomemos logaritmos. Para valores grandes de n, se cumplirá la igualdad aproximada:

 

 

Cuando k→∞, la probabilidad anterior supondrá la probabilidad de que el número nunca se palindromice, a la que llamaremos πn.

 

 

Por lo tanto,

 

 

Por ejemplo, cuando n = 100:

 

 

La probabilidad es ciertamente pequeña, pero no nula. Por tanto, hay que esperar que algunos números no se palindromizarán nunca.

 

Por tanto, si las hipótesis adoptadas son ciertas, la respuesta al problema es: algunos números nunca se palindromizarán.

 

                                                                                              JMAiO, Torredembarra, jul 07