LOS PALÍNDROMOS GRUPALES
El otro día, viendo que el cuentakilómetros
de mi coche marcaba 023230, se me ocurrió que este número, en un sentido
amplio, podría ser considerado un palíndromo, si aceptáramos como sus grupos unitarios
constitutivos (0)(23)(23)(0). Extendiendo la idea de palíndromo en general a
los palíndromos “grupales”, resultarían palindrómicas palabras como bereber, palpa, tonto, calca, cancán, soaso, arar,... e incluso la palabra palíndromo, si toda ella la consideramos
como un grupo.
Vamos a ceñirnos en nuestro estudio a los palíndromos grupales numéricos. El primer problema que se nos plantea es su frecuencia. ¿Cuántos habrá de un número determinado de cifras?
Para simplificar al máximo, admitiremos de
momento el cero como una unidad significativa cuando haga falta, de modo que
números como (00)(34)(34)(00), (0)(45)(6)(45)(0) serán palíndromos de grado 8 ó
7, respectivamente.
Empecemos por los palíndromos grupales de un
número par de cifras, 2n, y sin elemento central. Podemos construirlos muy
fácilmente dada una secuencia de n cifras, construyendo otra que repita las
secuencias parciales de una forma cualquiera. Por ejemplo, partiendo de 2475
podremos construir los palíndromos grupales (2)(475)(475)(2), (24)(75)(75)(24),
(247)(5)(5)(247), (2)(4)(75)(75)(4)(2), etc. Observemos que se pueden formar
tantos conjuntos en cada mitad como formas en que pueden colocarse los símbolos
)(. Es decir, situar entre las cifras estos “separadores” de todas las formas
posibles y en todos los números posibles.
Por ejemplo, las 5 cifras de la primera mitad
de un número de 10 cifras podrá ser fraccionada así:
XXXXX -
X)(XXXX 1
XX)(XXX 2
XXX)(XX 3
XXXX)(X 4
X)(X)(XXX 12
X)(XX)(XX 13
X)(XXX)(X 14
XX)(X)(XX 23
XX)(XX)(X 24
XXX)(X)(X 34
X)(X)(X)(XX 123
X)(X)(XX)(X 124
X)(XX)(XX 134
XX)(X)(X)(X 234
X)(X)(X)(X)(X 1234
El problema se reduce a calcular las
combinaciones de 5 elementos de 1 en 1, de 2 en 2,... etc., como sugiere la
columna de la derecha.
El símbolo )( puede ir situado en 5 lugares
posibles, por lo que, en definitiva, el número total de situaciones,
multiplicado por el de permutaciones de los dígitos {0,1,2...9} que éstas
generan es:
Ésta es la fórmula general de los palíndromos
sin grupo central, pues los que lo
contienen presentan serios inconvenientes para su aceptación.
En efecto: sin mengua de la generalidad,
podemos suponer éstos también con número par de elementos. El elemento central
podrá constar de 2, 4, 6... cifras, y en cada caso quedará a cada lado un grupo
de 2n-2, 2n-4, 2n-6... cifras, a
las que podremos aplicar la fórmula anterior. Es decir, que el número total de
palíndromos grupales que podrán formarse es:
¡Observemos que este valor es mayor que 102n,
es decir, que todos los posibles valores numéricos de la expresión! Ello es
debido a que el palíndromo grupal formado
por un solo elemento de 2n términos es contado como uno más: se corresponde
al caso trivial antes comentado en que la propia palabra palíndromo lo sería si aceptáramos que está formada por un solo
grupo, que por definición lo es.
Por ello parece pertinente no contar esta
segunda clase de palíndromos.
Barcelona,
enero 2000