BREVE Y APRESURADA NOTICIA

SOBRE EL CONJUNTO DE MANDELBROT

Las fractales son unos objetos cuya presencia en los tratados y revistas de matemáticas ha ido aumentando en los últimos años. Se caracterizan por poseer un grado de "reduplicación" interna, de modo que cada parte del conjunto, independientemente de la escala elegida, lo reproduce en su totalidad, como esas etiquetas en cuyo dibujo aparece la propia etiqueta una y otra vez, hasta donde la habilidad del dibujante alcanza.

Uno de los ejemplos de fractal más singulares es el conjunto de Mandelbrot. Su concepción, sorprendentemente simple, no permite sospechar sus complejidades internas. Situados en el plano complejo, establezcamos la siguiente sucesión:

u_i+1 = u_i^{2 + z}

Donde z es un punto cualquiera del plano, z = x +iy. El término inicial de la sucesión es u₀ = 0 + 0i.

Se define el conjunto de Mandelbrot (abreviadamente, M) como el de los puntos z del plano complejo para los que la paralela sucesión formada por los módulos de los términos anteriores, se mantiene acotada.

La forma de M, y más precisamente su frontera, presenta un interés extraordinario. El "cuerpo principal" presenta una forma renoide que podemos llamar "el mandelbrotín". Sobre éste se inserta, en el centro de su "dorso", otro mandelbrotín similar pero de un tamaño mitad, a 1/4 y 3/4 del mismo contorno otros dos de tamaño 1/4, en los octavos impares otros de tamaño 1/8, y así sucesivamente. Todo ello hablando siempre en términos aproximados, pues ningún mandelbrotín reproduce exactamente a escala los vecinos y goza de su propia "personalidad".

Un examen todavía más atento muestra mandelbrotines cada vez más pequeños aparentemente fuera del cuerpo principal, pero ulteriores aumentos de escala muestran que su aislamiento es falso, pues una serie de tenues filamentos los unen entre ellos y con el mandelbrotín principal: entre otras sorprendentes propiedades, el conjunto de Mandelbrot es conexo. Sucesivas penetraciones de un imaginario zoom irían mostrando nuevos detalles, cada vez más cambiantes, a niveles de escala más y más profundos.

Resulta fácil construir un programa de computadora que compruebe punto a punto una región elegida del plano para ver si pertenece o no a M. Una serie de consejos útiles aumentarán la efectividad de la búsqueda y la belleza de los resultados:

a) Puede demostrarse que la condición necesaria y suficiente para que u_i diverja es que en algún momento se supere el valor 2. Por tanto, basta con limitar a ese tope la búsqueda.

b) Claro es que no pueden efectuarse infinitas iteraciones de la operación u_i^{2 + z}. En la práctica basta con limitarlas a unas 1000, lo que clasificará erróneamente muy pocos puntos. Si nos conformamos con un error algo mayor, pero todavía aceptable, la cifra de 100 puede ser también suficiente.

c) Puede aumentarse el detalle y la belleza en la determinación de M acudiendo al color. Para ello es útil establecer un registro donde se anote, para cada punto de M, el número de iteraciones que ha sido necesario para alcanzar el valor 2. Una vez terminado el escrutinio, se asigna a cada punto un color en función del número de reiteraciones asociado, con lo que se obtendrán bellísimos efectos. La escala más apropiada de color se obtendrá fácilmente mediante algunos tanteos.

Recomiendo vivamente a los aficionados a la informática la práctica del estudio de M. Cada cual puede explorar la región del plano que juzgue más interesante, en la seguridad de que la búsqueda le resultará tan atractiva como una excursión a un país exótico y apasionante.

El lector interesado hallará más detalles en un interesante artículo publicado en INVESTIGACION Y CIENCIA en octubre de 1985.

Josep M. Albaigès

Barcelona, mayo 1987