Visión matemática de la música (II)

La afinación pitagórica

¿Cómo se llegó a la definición de estas notas? ¿Por qué son siete y no once o veinticinco? La razón, de tipo histórico, hay que suponer que se alcanzó por tanteos, pero su definitiva consagración vino con la “afinación pitagórica”, en la que cada nota era definida ajustándola con su quinta, fácilmente distinguible. Así, haciendo sonar el do y buscando un sonido que se aviniera lo mejor posible (su quinta, es decir, el de frecuencia 3/2), se llegaba enseguida a la sol. Repitiendo el procedimiento, llegábamos a la nota de frecuencia (3/2)² = 9/4, que corresponde a la gama superior, en el que las frecuencias son el doble. En dicho intervalo, corresponderá al sonido de frecuencia 9/8 del do’, es decir, el re’.

Si reiteramos el procedimiento, llegamos al sonido (3/2)×(9/8) = 27/16 = 1,6875, que es, muy aproximadamente el la’ (el error es 0,0125, ciertamente pequeño; es lo que genéricamente se denomina “una coma”), y un nuevo intento lleva a (27/16)×(3/2) = 81/32. Estamos en el intervalo superior, y corresponde en él a 81/64 = 1,266, que nuevamente queda cerca del mi”, precisamente con el mismo error anterior. Respecto a la do”, esta nota será llamada “tercera mayor”.

Sin embargo, matemáticamente es fácil ver que por este camino nunca llegaremos a alcanzar la totalidad de las notas antes expuestas, sea cual sea la octava en que las busquemos. En efecto, cualquier armónico por quintas del do inicial lleva a un sonido de frecuencia 3ⁿ/2^p (subiendo n quintas y bajando p octavas), y esta fracción nunca puede ser reductible a una que contenga 3 en su denominador, como son fa y la.

Los pitagóricos consiguieron avanzar un paso más retrocediendo y buscando la nota para la cual la do fuera la quinta. Ésta es la fa^-1, pero, hacia atrás, también el camino se corta. En todo caso, no hay más remedio que resignarse a aceptar, como suficientemente aproximados, algunos valores que se alcanzan por este procedimiento. De hecho, aprovechando la cuasi-igualdad 3¹² = 531.441 ≈ 2¹⁹ = 524.288, queda definida la llamada “coma pitagórica” como diferencia entre los dos sonidos anteriores, o sea 1,0136, que equivale a 5,9 savarts, y muchos consideran el límite de la posibilidad de distinción entre notas muy próximas. Es decir, que 12 quintas equivalen, muy aproximadamente, a 7 octavas:

Es muy fácil hallar en general la nota a la que se llega tras aplicar n subidas por quinta. Partiendo de una nota x de frecuencia relativa f(x) respecto a su do, la frecuencia resultante será F = f(x)(3/2)ⁿ. Si es 2^p la potencia de 2 inferior más próxima a este valor, el cociente F/2^p nos da f(y), la frecuencia relativa de la nueva nota. En cuanto a p, nos marca el número de octavas ascendidas.

Por ejemplo, si aplicamos 5 ascensiones por quinta a una fa, será:

La potencia de 2 más próxima a F es 2³ = 8, conque f(y) = 10,125/8 = 1,265. Esta nota corresponde a un mi’” situado 3 octavas más arriba.

Sería fácil extender esta regla a descensos o a ascensos por otra nota diferente de la quinta.

A partir del procedimiento pitagórico se alcanza el intervalo más pequeño existente en la música, el llamado esquisma, definido como 5×3⁸/2¹⁵ = 32805/32768 =1,0011 (0,490 savarts).

La gama de Zarlino

Volvamos a la gama pitagórica. Empezando por el fa, por los motivos explicados, hemos visto que algunas notas coinciden exactamente con las de la gama natural, pero otras no lo hacen más que aproximadamente, por el motivo expresado de que una potencia de 2 nunca coincidirá con una de 3. Aplicando la maniobra de subir las quintas y bajar las octavas que sean precisas, acabamos definiendo no sólo las notas de la gama, sino incluso sus bemoles y sus sostenidos. Omitimos el detalle para no fatigar al lector, exponiendo sólo los resultados:

Nota	Intervalo con el do (savarts)	Intervalo con la anterior (savarts)	Sostenidos	Intervalo con el do (savarts)	Bemolizados	Intervalo con el do (savarts)
do	0	23	si#	5	reÙ	23
re	51	51	do#	28	miÙ	74
mi	102	23	re#	79	faÙ	91
fa	125	51	mi#	130	solÙ	148
sol	176	51	fa#	153	laÙ	199
la	227	51	sol#	204	siÙ	250
si	278	51	la#	225	doÙ	273
do	301	23	si#	306

El examen atento de esta tabla revela varios puntos difíciles de conciliar con la realidad estética. Los sostenidos son más agudos que los bemolizados (una coma, o sea 5 savarts). Además, el mi# se encuentra una coma por encima del fa, y el si# por encima del do. En cuanto al faÙ, se halla una coma por debajo del mi, y el doÙ lo mismo por debajo del si.

Esta gama ha resultado buena desde el punto de vista melódico (bondad en la emisión simultánea de notas), pero muchos músicos le opusieron reparos desde el armónico (sucesión de sonidos a lo largo del tiempo, por lo que el compositor Gioseffo Zarlino (1517-1590), buscando adecuar la escala con el estilo polifónico vocal, entonces en pleno auge, se le ocurrió restar una coma (5 savarts) de las notas mi, la, si, llegando a la “gama de Zarlino”, igual en la práctica a la natural. Comparemos ambas:

Nota	Pitágoras	Zarlino	Intervalos
do	0	0
re	51	51	51
mi	102	97	46
fa	125	125	28
sol	176	176	51
la	227	222	46
si	278	273	51
do	301	301	28

En la última columna puede verse patentemente la distinción entre tonos mayores (51 savarts) y menores (46 savarts). Los semitotes (28 savarts) son en realidad mayores que la mitad de un tono, incluso mayor.

Otras gamas

Holder ideó otra gama en 1694, las 53 “novenas de tono”, que sólo por curiosidad mencionamos. Se basa en proceder mediante el número irracional 2^1/53 = 1,03164, o sea 5,68 savarts, o sea una coma, lo que permitía situar muy ajustadamente las notas. Otra fue las 51 quintas de tono de Huygens (1691), basadas en 2^1/31, los 24 cuartos de tono de Haba (1925), que tomaban como base 2^1/24, los 6 tonos de Debussy (2^1/6). También Euler y otros probaron suerte, pero ninguna de estas gamas ha tenido aceptación.

Los modos

Los modos son el reparto de los intervalos dentro de una determinada escala. El modo mayor es el visto hasta el momento: a partir de la primera nota o tónica, la sucesión hasta volver a ella es: dos tonos mayores (do-re-mi), uno menor (mi-fa), tres mayores (fa-sol-la-si) y uno menor (si-do). La alternancia de dos grupos de dos y tres tonos separados por un semitono es característica de este modo, llamado mayor.

Para mayor claridad, podrían situarse las notas (incluidos los sostenidos, que equipararemos con los bemoles de la siguiente) en los vértices de un dodecágono regular inscrito en una circunferencia, obteniendo así la figura. De este modo se resalta la periodicidad de la escala hacia las octavas superiores, pues cumplida una vuelta, podría efectuarse el mismo recorrido prosiguiendo en el mismo sentido, repitiéndose las notas dentro de la siguiente octava. Este modo, llamado en do mayor, podría ejecutarse musicalmente partiendo por ejemplo del sol (esta nota es llamada la dominante respecto del do). Para respetar la sucesión antedicha, los intervalos serían ahora: sol-la-si (dos tonos), si-do (un semitono), do-re-mi-fa# (tres tonos) y fa-sol (un semitono).

Pero existe también el modo menor, en el que la sucesión básica, a partir de la tónica, es do-re (un tono), re-miÙ (un semitono), miÙ-fa-sol (dos tonos), sol-laÙ (un semitono), un tono y medio (laÙ-si), un semitono (si-do). Este modo sería igual al tono mayor de miÙ, pero la quinta nota en vez de ser siÙ se cambia por si a fin de no dejar al do siguiente sin la anterior en un semitono a fin de no dejar el do sin la llamada “sensible”, es decir, la anterior en un semitono.

Sin embargo, en su descenso, el camino seguido es el punteado (dos tonos, un semitono, dos tonos, un semitono, un tono) por no ser necesaria la sensible. Análogamente podrá hablarse, por ejemplo, de modo menor en la (la-si-do-re-mi-fa-sol#-la). Los modos menores se utilizan para dar a la composición cierto contenido melancólico o de tristeza.

De hecho, cualquier heptágono inscrito en los vértices del dodecágono corresponderá con un modo. Por ejemplo, otros menos usados son el gitano o zíngaro (un tono, un semitono, un tono y medio, dos semitonos, un tono y medio, un semitono, como do-re-miÙ-fa#-sol-laÙ-si-do), e incluso otros con cinco o seis notas, como el pentatónico (dos tonos, un tono y medio, un tono, un tono y medio), el hexafónico (seis tonos), etc.

JMAiO, BCN, may 05