Visión matemática de la música (I)

 

El desarrollo de los aspectos matemáticos de la música debe ser realizado apoyándolo simultáneamente tres bases: la física, la fisiológica y la cultural.

Cuadro de texto:

Base física

La emisión de “sonido” (físicamente, compresiones y dilataciones del aire, que se transmiten en todas direcciones) sin ninguna regularidad se llama “ruido”, y no nos ocuparemos de él; bastante lo soportamos en la vida diaria. Lo que recibe propiamente el nombre de “sonido” (en el que apreciamos cierta regularidad y belleza) se caracteriza ante todo por responder a impulsos periódicos regulares, y viene caracterizado por:

 

 

Como acabamos de decir, el sonido debe consistir en vibraciones periódicas. Éstas vienen definidas por su frecuencia (repeticiones por segundo), y dentro de ellas, las más perfectas son las llamadas “armónicas”, caracterizadas por la proporcionalidad entre la fuerza originadora y el efecto producido (presión del aire). Matemáticamente, responden a la expresión:

 

 

donde es:

 

 

Representaremos su gráfica para una amplitud a = 1 y una frecuencia ν = 440 hz, correspondiente a la nota definida internacionalmente como la3 (en algunos países, la5). En el dibujo se recogen cuatro períodos, en el intervalo comprendido entre 0 y 1/110 s.

 

 

Sin embargo, sólo los sonidos puros (como los del diapasón) tendrán una gráfica así. En general, ésta tendrá un aspecto de este tipo:

 

 

Pero se puede demostrar matemáticamente (descomposición en serie de Fourier) que toda función periódica es descomponible en otras de tipo sinusoidal y de frecuencias iguales, doble, triple, etc. (es decir, sus armónicos). Efectuado el análisis de la curva anterior, se halla que corresponde a la suma de otras tres curvas sinusoidales de períodos respectivos 2π, 4π y 6π. La ecuación de la curva sería así:

 

 

Es decir, que el sonido de partida podría descomponerse en tres sonidos puros de períodos igual, doble y cuádruple. Éstas serían, superpuestas, sus tres gráficas respectivas:

 

 

Se comprende por tanto el interés de estudiar separadamente las distintas ondas sinusoidales simples, que son llamadas notas musicales. Desde luego, puede asociarse cada nota musical con una frecuencia, por lo que su número es infinito, pero algunas tienen nombre concreto.

 

Base fisiológica

Pasemos ahora al aspecto fisiológico del fenómeno. Cuando dos o más notas son emitidas simultáneamente, se genera un fenómeno ondulatorio de superposición de frecuencias. El efecto percibido es más “agradable” cuanto más sencilla es la relación de frecuencias, pues la onda resultante es también sencilla al poderse crear movimientos ondulatorios compuestos de un tipo como el visto anteriormente. Por ejemplo, el acorde más sencillo es el formado por una nota y la de frecuencia doble (llamada “la octava”) al coincidir un nodo de la primera con uno de cada dos de la segunda. Para el caso en que ambas tengan la misma amplitud, ésta es la gráfica:

 

 

Más generalmente: la relación entre dos notas es captada en función de sus frecuencias relativas, por lo que denominaremos “intervalo” entre ellas no a su diferencia de frecuencias, sino entre al cociente de las mismas. En el caso anterior, el intervalo entre una nota y su octava es 1:2.

 

Base cultural

Finalmente, el aspecto cultural incide al menos en un doble frente: en primer lugar, los usos culturales pueden modificar más o menos parcialmente los asertos anteriores, en especial la sensación estética, y, por otra parte, esos mismos usos influyen en la elección de una gama, es decir, de la individuación de algunas notas entre todas las posibles.

 

La gama temperada

Llamaremos gama a la serie de sonidos armónicos puros (notas) utilizados como base en una determinada tradición o cultura musical. En nuestro sistema occidental, el intervalo entre una nota y la de doble frecuencia (lo que llamamos su “octava”) se halla dividido en doce partes, cuyas frecuencias forman una progresión geométrica de razón:

 

 

Desgraciadamente, este número se halla lejos de responder a una fracción sencilla. Desarrollando el valor anterior en reducidas (fracciones aproximadas), tendremos, en orden de aproximación creciente:

 

 

Vamos a efectuar un análisis algo detallado de las frecuencias de las restantes notas. A través del desarrollo de sus fracciones reducidas, veremos las fracciones racionales a las que pueden aproximarse, y captaremos el grado de aproximación en cada caso:

 

n

Nota

  2n/12

Fracciones reducidas

Aprox.

0

α

1

1

 

=do

1

β

1,0595

17/16,18/17,89/84…

 

2

γ

1,1225

9/8,55/49,1714/1527…

≈re

3

δ

1,1892

6/5,19/16,25/21…

 

4

ε

1,2599

4/3,5/4,29/23…

≈mi

5

ζ

1,3348

3/2,4/3,295/221…

≈fa

6

η

1,4142

7/5,17/12,41/29…

 

7

θ

1,4983

3/2,442/295,2213/1477…

≈sol

8

ι

1,5874

8/5,19/12,27/17…

 

9

κ

1,6818

5/3,37/22,3002/1785…

≈la

10

λ

1,7818

7/4,9/5,16/9…

 

 

11

μ

1,8877

15/8,17/9,168/89…

≈si

12

ν

2

2

 

=do'

 

Hemos usado para designar las notas obtenidas las letras griegas para no confundirlas con la notación alemana, que usa las latinas, y que veremos más adelante.

Lo primero que llama la atención (y justifica el acierto de haber elegido una escala con doce notas) en la sencillez y la aproximación de las fracciones reducidas a los números irracionales del tipo 2n/12. La primera de las fracciones reducidas es siempre un valor sencillo, mientras que la segunda es a menudo una fracción bastante más complicada, lo que indica que la anterior gozaba de un grado de aproximación notable pese a su sencillez.

En particular, son especialmente sencillas las primeras fracciones reducidas de las notas γ, δ, ε, ζ, θ, κ , μ, ν, con separaciones respectivas de 1, 1, ½, 1, 1, 1, ½ tonos respectivamente respecto de las anteriores. Esto sugiere la adopción de unas notas aproximadas equivalentes a las fracciones reducidas iniciales, que serán nuestras familiares do, re, mi, fa, sol, la, si, do. En la última columna se indican estas notas con el signo ≈ (“aproximadamente igual”).

Observemos que, ya que nos estamos refiriendo siempre a proporciones entre frecuencias, puede resultar útil utilizar los logaritmos de sus valores. Puesto que el logaritmo decimal de 2 es log 2 = 0,3101030, podemos dividir el intervalo en 301 partes, que son denominadas savarts en honor del físico Savart, especializado en la acústica. En tal caso, el intervalo entre cada nota y la siguiente sería:

 

k’ = 301/12 = 25,08 savarts

 

De hecho, esta progresión o gama es llamada “temperada”, que es la que modernamente se utiliza, y  a la cual nos hemos ido habituando. En ella se pasa de una nota a la siguiente mediante aumentos en su frecuencia de un 5,94 % en cada caso, o sea de 301/12 = 25,08 savarts.

 

La gama natural

Pero es de mayor interés estudiar la llamada “gama natural” o de armónicos, en la que los intervalos entre una y otra nota son desiguales, buscando en cada caso la fracción sencilla. La nota octava vuelve a ser denominada como la primera; para advertir que pertenece a la gama superior, la tildaremos.

Los valores tradicionalmente usados, con sus fracciones respectivas, son precisamente las reducidas halladas anteriormente:

 

NOTA

Frecuencia en relación con el do (fracción f)

Id. (decimal)

Intervalo respecto a la nota anterior

Intervalo en savarts

do

1

1

1,066

28

do#

 

 

 

 

re

9/8

1,125

1,125

51

re#

 

 

 

 

mi

5/4

1,25

1,111

46

fa

4/3

1,333

1,066

28

fa#

 

 

 

 

sol

3/2

1,5

1,125

51

sol#

 

 

 

 

la

5/3

1,667

1,111

46

la#

 

 

 

 

si

15/8

1,875

1,125

51

do’

2

2

1,066

28

 

El espacio comprendido entre una nota y la siguiente es llamado “tono”, salvo los mi-fa y si-do, que son de medio tono. ¿Por qué hemos dejado algunos espacios vacíos, donde se ubican las notas sostenidas (#)? Puede observarse que todos los intervalos excepto el mi-fa y el si-do son aproximadamente el doble de estos dos (véase la cuarta fila). Los espacios vacíos (que en la anterior gama temperada correspondían a las “notas” β, δ, η, ι, λ) son rellenados con nombres feos y complicados, tomados de una de las notas contiguas[1]. Así, do#, que se lee “do sostenido”.

Convienen unas líneas de advertencia respecto a estas “notas a medio intervalo”. En primer lugar, habría que convenir que el mi# coincide con el fa, y el si# con el do’. ¿Por qué no hemos anotado sus frecuencias respectivas? En principio se sitúan “a medio camino”, y por tanto la frecuencia del do# (que antes hemos llamado β) debería ser √1,125 = 1,0607, que, en fracción reducida, es aproximadamente, como hemos visto 17/16. Pero los músicos prefieren considerar este do# más bien como una variante algo más aguda del miÙ. Así, cada nota tiene no sólo su sostenido (incluidas mi y si), sino también su bemol, que se nota Ù; si el sostenido era una variante aguda de la nota, el bemol es una variante más grave. En principio, es do# = reÙ, pero aquí se admiten pequeñas variaciones en función del instrumento e incluso del gusto del intérprete.

La falta de regularidad entre los intervalos se suple con creces con la cantidad de sonidos armónicos que se generan en esta gama. El primer fruto de la sencillez de las fracciones expuestas es que, doblando cada nota, acabamos encontrando, en algún intervalo superior, otra nota de la escala. Así, doblando la re, llegamos a la re’ de la octava superior, volviendo a doblarlo, el re”, y así sucesivamente.

Como hemos visto, el acorde más agradable, es la tercera, do-sol (2:3), proporción que también se da en la mi-si y en la fa-do’.

La cuarta es ya algo más forzada. Se cumple en la do-mi (8:9), y también en el fa-sol. Observemos que la proporción es bastante parecida en mi-fa (9:10). La primera es llamada tercera mayor; la segunda, tercera menor.

Los acordes (conjuntos de tres notas) más corrientes en música son el conjunto do-mi-sol (relación 1:5/4:3/2, o sea 4:5:6, terna muy sencilla), que es por ello es sin duda el más frecuente en música, así como el sol-si-re y del fa-la-do, ambos con la misma proporción.

 

 (continuará)                                                                             JMAiO, may 05

 

 

 


[1] La irracionalidad en la nomenclatura musical es fruto de la costumbre, y no es fácil desterrarla hoy. De hecho, se denomina “octava” y “quinta” a lo que debiera ser denominado “séptima” y “cuarta”, respectivamente, desde un punto de vista matemático, atendiendo a los intervalos que cubren.