SUMAS DIGITALES POTENCIALES

 

            Desde la prueba del 9 es conocido el hecho de que sumando las cifras de un número y reiterando el procedimiento hasta llegar a una sola cifra, ésta nos indicará la congruencia del número respecto a 9. En otras palabras, que las sumas 0, 1, 2,... 9 aparecerán con la misma frecuencia.

            La cosa cambia cuando se considera la suma de los cuadrados de las cifras. Por ejemplo, partiendo de 50 y de 28:

 

                        52 + 02 = 25                              22 + 82 = 68

                        22 + 52 = 29                             62 + 82 = 100

                        22 + 92 = 85                             12 + 02 + 02 = 1

                        82 + 52 = 89                              12 = 1

                        82 + 92 = 145                            ............

                        12 + 42 + 52 = 42

                        42 + 22 = 20

                        22 + 02 = 4

                        42 = 16

                        12 + 62 = 37

                        32 + 72 = 58

                        52 + 82 = 89

                        ...........

 

            Desde luego, las sumas se repiten a partir de los puntos alcanzados. Un análisis a fondo lleva a la conclusión de que en todos los casos acaba ingresándose en una de las dos posibilidades vistas: la constante 1 ó la serie 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 (ambas en negrita). Puede incluso hallarse la frecuencia con que se llega a ambas efectuando el cálculo para los 10000 primeros números, cuyos resultados son:

 

                        CICLO-2                                            FRECUENCIA

                        1                                                          1442

                        4-16-37-58-89-145-42-20                   8558

 

            ¿Qué ocurre al pasar a los cubos? Pues que el panorama se complica radicalmente. Como era de esperar, aumenta el número de constantes y el de ciclos. Empezando por las primeras, varios números resultan ser iguales a la suma de los cubos de sus cifras constituyentes: 1, 153, 370, 371, 407. Estos números polarizan la casi totalidad de las convergencias: 8543 casos sobre 10000.

            En cuanto a los ciclos, aparecen cuatro, y curiosamente todos son cortos si los comparamos con el visto anteriormente. Estas son las irregulares fecuencias del conjunto:

 

 

                        CICLO-3                                FRECUENCIA

                        1                                              101

                        55-250-133                              518

                        136-244                                   160

                        153                                          3333

                        160-217-352                           438

                        370                                          1776

                        371                                          2937

                        407                                          396

                        919-1459                                 341

 

            Y en cuanto se llega a las cuartas potencias, el número de constantes y ciclos se reduce. Veamos nuevamente los resultados:

 

                        CICLO-4                                                                                FRECUENCIA

                        1                                                                                                 5

                        1138-4179-9219-13139-6725-4338-4514                               8845

                        1634                                                                                          24

                        2178-6514                                                                               444

                        8208                                                                                        646

                        9474                                                                                          36

 

            Nuevamente cuatro números exhiben la cualidad de igualar la suma de las cuartas potencias de sus cifras: 1, 1634, 8208, 9474.

            ¿Existirá alguna regularidad en esos ciclos?

 

 

                                                                                    Josep M. Albaigès

                                                                                    Barcelona, diciembre 1989