El sudoku y los cuadrados latinos

Se llama cuadrado latino de lado n al formado por n² casillas, en las que se sitúan las cifras (o letras) de 1 a n, de forma que no se repiten éstas en ninguna fila ni columna. Es muy fácil construirlos, por ejemplo:

a	b	c	d	α	β	γ	δ	aα	bβ	cγ	dδ
b	a	d	c	γ	δ	α	β	bγ	aδ	dα	cβ
c	d	a	b	δ	γ	β	α	cδ	dγ	aβ	bα
d	c	b	a	β	α	δ	γ	dβ	cα	bδ	aγ

Observemos que combinando el primer cuadrado con el segundo se obtienen asociaciones entre pares de letras latinas y griegas de forma que no se repite ninguna asociación. Estos dos cuadrados latinos son “ortogonales” entre sí, y su combinación es un cuadrado llamado greco-latino.

Euler demostró que la construcción de un cuadrado greco-latino puede efectuarse siempre que n sea impar o “par de clase par” (o sea múltiplo de cuatro). Pero con los “pares de clase impar” (pares del tipo 4k+2) es otra cosa. Es casi obvio que no pueden construirse los de clase 2, y Euler fue incapaz de hallar uno de orden 6. Con lo cual el matemático suizo enunció su famosa conjetura: “No dudo concluir que es imposible hallar un cuadrado completo de 36 casillas ni en hacer extensiva tal imposibilidad a los casos n = 10, n = 14, etc.”

En 1901 el matemático francés Gaston Tarry consiguió demostrar que no existen cuadrados greco-latinos de lado n = 6, lo que hizo más verosímil la conjetura de Euler completa. Pero en 1959 un grupo de matemáticos de la Universidad de California, capitaneados por E. T. Parker, armados de una potente computadora SWAC la hicieron trizas, hallando un cuadrado grecolatino de 10×10:

00	47	18	76	29	93	85	34	61	52
86	11	57	28	70	39	94	45	02	63
95	80	22	67	38	71	49	56	13	04
59	96	81	33	07	48	72	60	24	15
73	69	90	82	44	17	58	01	35	26
68	74	09	91	83	55	27	12	46	30
37	08	75	19	92	84	66	23	50	41
14	25	36	40	51	62	03	77	88	99
21	32	43	54	65	06	10	89	97	78
42	53	64	05	16	20	31	98	79	87

El reto estaba lanzado por los matemáticos, y no tardó en demostrarse que la conjetura de Euler era falsa para todos los valores de n, salvo 2 y 6. ¡Es una de las raras veces en que el genio matemático se equivocó!

Como ocurre tantas veces, lo que parecía un pasatiempo matemático resultó de utilidad en un campo aparentemente tan alejado como la agricultura. Supóngase que se desea investigar la eficacia de siete abonos distintos. A primera vista parece que bastaría con ensayarlos en siete parcelas, pero, ¿cómo eliminar el sesgo debido a las diferencias de fertilidad del terreno? La solución es sencilla: combínense los siete abonos según un cuadrado latino de 7×7, lo que eliminará estadísticamente los sesgos. ¿Y qué ocurre si tenemos 49 variables? Pues bastará con disponerlas según un cuadrado grecolatino de 7×7.

* * *

La actualidad ha vuelto a poner de moda los cuadrados grecolatinos por el sudoku, un juego que consiste en realidad en formar un cuadrado latino de 9×9, formado a su vez por 9 subcuadrados de 3×3, cada uno de los cuales contiene una vez y sólo una las cifras del 1 al 9. El más famoso de estos cuadrados es el “cuadrado mágico” clásico, en el que además, filas, columnas y diagonales suman siempre 15:

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Es el único cuadrado con esa propiedad, aunque puede ser visto de 8 formas distintas.

¿Cómo resolver el sudoku? Internet está lleno de técnicas, todas las cuales se basan en aprovechar el hecho de que cada fila debe contener todos los números del 1 al 9, pero estos deben estar también en cada uno de los subcuadrados. Combinando estos hechos, es posible descartar números y establecer posibilidades, que se eliminarán unas a otras. Pero el tema es complejo, lo que explica que los programas elaborados sean poco fiables. Con todo, aquí tiene el lector unas direcciones en las que ensayar:

http://es.wikipedia.org/wiki/Sudoku (descripción en Wikipedia)

http://www.websudoku.com

http://www.sudoku.com/ (es de pago)

http://sudoku.3ontech.com/en/ (programa que procede por prueba y error)

http://www.programas-gratis.net/php/programa2.php?id_programa=3938 (sólo para jugar)

http://sudoku-jes.softonic.com/ie/42339 (íd)

JMAiO, oct 05