Problemas
propuestos por
2006-2007
El autor de esta página web
mantenía cada dos domingos por la mañana un diálogo sobre matemáticas con Pepa
Fernández, dentro del programa No es un
día cualquiera, de Radio Nacional de España. Como final del programa se
proponía a los escuchantes un problema más de ingenio que de fórmulas más o
menos complicadas.
En el artículo se consignan
los problemas propuestos durante el curso 2005-2006.
Desaparecida la sección en
septiembre de 2006, y a petición de algunos fieles escuchantes del programa, se
mantiene el planteamiento de nuevos problemas. Es mi deseo que gusten a mis
fieles ciberamigos.
El problema de los cables eléctricos
Tiburcio, el electricista, debe resolver un problema arduo. Siete cables van desde la planta baja de un edificio a la azotea, pero no están identificados: no se sabe cuál de los que aparecen por la azotea se corresponde con cada uno de los que salen de la planta baja.
Tiburcio dispone sólo de un comprobador, que marca cuándo un circuito está cerrado.
Tras pensar en el problema de la identificación, lo resuelve con sólo un viaje a la azotea.
¿Cómo se las ingenia?
Solución
En primer lugar, Tiburcio numera del 1 al 7 los cables en la planta baja, y los conecta así: 1-2, 3-4, 5-6, quedando suelto el 7.
Seguidamente sube a la azotea y con el analizador establece qué parejas de cables están conectados, numerándolos de nuevo A-B, C-D, E-F, reservando la G para el cable que queda suelto. Éste es, obviamente, el 7.
Seguidamente deja suelto el A y los conecta así: B-C, D-E, F-G.
Regresa a la planta baja y deshace las conexiones antiguas, estableciendo las nuevas parejas conectadas.
El cable que quede ahora suelto es obviamente el A de arriba. Sea éste., v. gr., el 3. Su antiguo compañero, el 4, será B. Averiguaremos con cuál está ahora conectado el 4, éste serà el C. Y así sucesivamente.
Problema del euro
desaparecido
Un grupo de amigos van a un bar. A la hora
del pago el camarero les presenta la factura: 15 €. Ellos pagan pero protestan
de lo caro de las consumiciones. El camarero consulta con el dueño y éste, para
aplacarlos, le dice: “Diles que fue un error, y que sólo eran 10 €.” En el
camino de vuelta, el camarero, pensando que a fin de cuentas no habrá propina,
les dice que no, que eran sólo 12 € y les devuelve los 3 € sobrantes.
A fin de cuentas, los amigos han gastado 12
€. El camarero se ha quedado con 2 €. ¿Dónde ha ido a parar el € que falta?
Solución
En realidad, no ha desaparecido ningún euro Sólo lo parece por la forma en que se hace la pregunta.
Los amigos han gastado 12 €. De éstos, 10 son para el dueño, y 2 para el camarero.
Problema ajedrecístico
¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez?
Solución
Cuidado, no son 64. A ellos deben añadirse
los que pueden formarse agrupando casillas. Por ejemplo, las a1-b1-a2-b2. De
esta forma, saldrán 7·7 cuadrados de 2·2. Análogamente saldrán
6·6 de 3·3, etc. En total:
N = 82 + 72 +… + 12 = 204.
Puede aplicarse la fórmula de la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales:
El problema de la mosca en el avión (Propuesto por
Una mosca que esté volando en el interior de un avión en vuelo, ¿ejerce peso sobre éste, por pequeño que sea?
Solución
Ejerce peso sobre el avión
a través del aire (doy por sentado que su sustentación es “continua”, con miles
de aleteos por segundo). Otra cosa sería una piedra lanzada, que tras ejercer
más peso en el momento de su proyección, no pesaría durante su trayectoria,
para volver a pesar más en cuanto cayera sobre el suelo de la nave.
Problema del
concurso de TV
En un concurso de TV entre tres concursantes,
deben responder una pregunta para la que se ofrecen cuatro posibles respuestas.
Si falla el primero, pasa la pregunta al segundo. Si éste falla también, pasa
al tercero.
Ninguno de los tres conoce la respuesta, por
lo que tendrán que contestar al azar. ¿Cuál está en ventaja? ¿O ninguno?
Solución
Los tres están en igualdad de condiciones.
En efecto, la probabilidad de acertar del
primer concursante es ¼.
La del segundo será de 1/3 siempre que el
primero no haya acertado. Esto último tiene una probabilidad ¾, conque la
probabilidad del segundo concursante es ¾· 1/3 = ¼.
Análogamente, la del tercero es ¾·
2/3·1/3 = ¼.
Problema de las
monedas
Con un total de 100 monedas de 0,05 €, 1€ y 5
€ formar un importe de 100 €. Debe haber representantes de cada valor.
Solución
Supongamos resuelto el problema. El montón de
monedas contendrá algunas de 1€. Si todas fueran de este tipo, bastaría con 100
monedas. Si prescindimos de las monedas de 1€, las restantes, deben igualar su
número con su valor (ambos menores que 100).
Ahora bien, observemos que, si deseamos
mantener el valor total, por cada moneda
de 5€ que retiremos del montón, deberemos añadir 100 de 0,05 €. O sea que por
cada una de 5€ que retiremos, añadiremos 20 de 0,05€. En total, el montón
aumenta en 19 monedas.
La única forma de que haya monedas de todo
tipo es que haya 95 monedas de 0,05€. De ahí sigue inmediatamente que habrá 1
de 1€ y 80 de 0,05€.
Por álgebra. Sean x las monedas de 5€, y
las de 1€ y z las de 0,05€.
Planteemos las ecuaciones:
Si restamos la primera ecuación de la segunda,
resulta:
De donde resulta fácilmente:
De donde resulta inmediatamente x = 19; y = 1; z = 80.
Los soldados cruzando el puente
Cuatro soldados heridos deben atravesar de
noche un puente lleno de minas. Disponen de una antorcha cuya luz dura 24
minutos. Por el peso, pueden cruzarlo sólo dos de una vez, y regresar cada vez
uno para traer la antorcha a sus compañeros. Sus tiempos necesarios de travesía
son 2, 4, 7 y 10 minutos. En cada viaje irán dos de ellos y regresará uno con
la antorcha. Naturalmente, el soldado más rápido debe adaptarse a su compañero
más lento. ¿Puede completarse la travesía sin agotar la luz de ésta?
(Problema aportado por Mariano Nieto)
Solución
Si los fugitivos tienen que
pasar del extremo A del puente
al B, se requieren tres cruces
por dos personas de A a B y dos retornos de una persona de B a A portando la antorcha.
Si
designamos a los fugados por las cifras de sus respectivos tiempos de cruce,
una solución sería ésta:
Primer cruce de A a B por 2 y 4.
Tiempo acumulado: 4.
Retorno de 2. Tiempo acumulado: 6.
Segundo cruce de A a B por 7 y 10. Tiempo
acumulado: 16.
Retorno de 4 Tiempo
acumulado: 20.
Tercer cruce de A a B por 2 y 4. Tiempo
acumulado: 24.
El batallón de
soldados y su mascota
Un batallón de 100 soldados formados en
cuadro de 10×10 m empieza a desfilar. En el mismo momento, su traviesa mascota,
partiendo del centro de la última fila (A), corre a velocidad constante hasta
alcanzar el centro de la primera (B) y regresa del mismo modo, sin perder
tiempo en giros, hasta el centro de la última fila. En el momento de
alcanzarla, los soldados han recorrido 10 metros. ¿Cuántos ha recorrido el
perro?
Solución
Tomemos como unidad de tiempo el que los
soldados invierten en recorrer su formación. Si es x el recorrido del perro, como éste efectúa el recorrido de ida y
vuelta en el tiempo unidad, su velocidad será también x. En el viaje de ida, su velocidad respecto a los cadetes será x-10, en el de vuelta, x+10. Como el conjunto se realiza en el
tiempo unidad, será:
Esta ecuación conduce a la
de segundo grado x2 -20x -100 = 0, cuya solución es x = 10 + √200 = 24,14 m, que es la
distancia recorrida por el perro.
Problema de cambio
—¿Puede Vd. cambiarme un euro en
monedas? —pregunté al dependiente de un tienda.
—Lo siento, no puedo.
—Entonces, ¿medio euro?
—Tampoco puedo.
—Entonces, ¿no tiene Vd. monedas de menos de
un euro?
—Sí, de hecho suman 1,43 €. Pero no puedo
cambiarle.
¿Cuántas monedas tenía el dependiente?
Solución
No puede tener más de una moneda de 50 c.
Tampoco más de 4 de 20 c.Tampoco más de 1 de 10 c. Ni más de 1 de 5 c, ni más
de 4 de 2 c, ni más de 1 de 1 c. En total tiene:
50 + 20 + 20 + 20 + 20 + 5 + 2 + 2 + 2 +
2 = 143 c = 1,43 €.
Problema de
ingenio
Un prisionero dispone de una gruesa cuerda de
5 m y desea descolgarse de su ventana, distante del suelo 10 m, para huir de
una muerte segura. ¿Cómo hará?
(Pista: Lo consiguió partiéndola en dos… pero
sin cuchillo alguno. ¿Cómo procedió?)
Solución
La destrenzó, formando así dos cuerdas de 5
m, que no tuvo más que anudar entre sí.
Problema aritmético
Expresar el número 100 utilizando cinco cifras iguales y las seis operaciones elementales (suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces).