NÚMEROS SUBPERFECTOS

Todos conocemos de sobra los números perfectos y sus propiedades. Se define el número perfecto como aquél cuya suma de submútiplos alícuotas (o sea, excluyéndole a él mismo), es el propio número. Por ejemplo, 6 = 1+2+3; 28 = 1+2+4+7+14. La fórmula general de los números perfectos pares (no se sabe si existen impares) es N_p = 2^n-1(2ⁿ-1), siendo el interior del paréntesis un número primo.

Los números perfectos tienen un fuerte inconveniente: escasean mucho. Por ello no es raro que los matemáticos se hayan dedicado a la investigación sobre otras variedades similares. La primera de ellas es la de los números subperfectos: aquéllos cuya suma de divisores (excluido él mismo) es el doble, triple, etc. del número. Se llamarán subdobles, subtriples, etc., respectivamente.

El más sencillo de todos ellos es el subdoble 120. En efecto, sus submúltiplos valen:

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60 = 240, doble de 120.

Si la descomposición en factores primos de un número es N = a^ab^bc^g…l^l, la suma de sus divisores vale:

S = (1+a+a²+…+a^a)(1+b+b²+…+b^b)(1+c+c²+…c^g)…(1+l+l²+…+l^l)

Resulta inmediatamente que en los números perfectos S = 2N, en los subdobles, S = 3N, en lo subtriples, S = 4N, etc.

Fermat descubrió una curiosa fórmula para los subdobles, algo más compleja que la que da los números perfectos pares:

N = 3p×2m,

siendo m > 1, y p un número primo de la forma:

Con ella se hallan otros valores, como N = 672. Lo bueno del caso es que otros matemáticos han descubierto otros subdobles, no comprendidos en la fórmula anterior. Así, André Jumeau, prior de Sainte-Croix, halló:

523776 = 2⁹×3×11×31

Y Descartes:

1476304896 = 2¹³×3×11×43×127

No sabemos el estado en que se halla actualmente la investigación. ¿Alguien tiene noticias?

JMAiO, ago 00