NÚMEROS AMIGOS

Es bien sabido que los números amigos son aquéllos cuya suma de divisores (excluido él mismo) iguala al otro. Por ejemplo, vamos a estudiar la pareja más baja, 220 & 284, recordando que si la descomposición en factores primos de un número es N = a^ab^bc^g…l^l, la “gran suma” de sus divisores (que le incluye a él mismo) vale:

S = (1+a+a²+…+a^a)(1+b+b²+…+b^b)(1+c+c²+…c^g)…(1+l+l²+…+l^l)

Llamaremos S’ a la “pequeña suma”, es decir, S’ = S - N. Entonces, para el ejemplo dado, será:

220 = 2²×5×11; S = (1+2+2²)(1+5)(1+11) = 7×6×12 = 504; S’ = 504 - 220 = 284

284 = 2²×71; S = (1+2+2²)(1+71) = 7×72 = 504; S’ = 504 - 284 = 220

Esto nos simplifica la búsqueda de números amigos, pues, más sencillamente, podemos decir que estas parejas son aquellos números cuya gran suma es igual. O sea, X e Y son amigos si S(X) = S(Y).

Por ello, es lógico pensar que las parejas de números amigos serán muy numerosas, ya que ciertamente muchos valores posibles de S no corresponden a ningún número.

La búsqueda computerizada de estos números hasta N = 100000 da la siguiente tabla:

1 21 Pythagoras -500	14 32 Euler 1747	29 22 Euler 1747
220=2^2*5*11	100485=3^2*5*7*11*29	503056=2^4*23*1367
284=2^2*71	124155=3^2*5*31*89	514736=2^4*53*607
2 X12 Paganini 1860	15 21 Euler 1747	30 22 Euler 1747
1184=2^5*37	122265=3^2*5*13*11*19	522405=3^2*5*13*19*47
1210=2*5*11^2	139815=3^2*5*13*239	525915=3^2*5*13*29*31
3 22 Euler 1747	16 X12 Poulet 1941/42	31 32 Mason 1921
2620=2^2*5*131	122368=2^9*239	600392=2^3*13*23*251
2924=2^2*17*43	123152=2^4*43*179	669688=2^3*97*863
4 22 Euler 1747	17 X22 Euler 1750	32 32 Euler 1750
5020=2^2*5*251	141664=2^5*19*233	609928=2^3*11*29*239
5564=2^2*13*107	153176=2^3*41*467	686072=2^3*191*449
5 X21 Euler 1750	18 32 Euler 1750	33 32 Mason 1921
6232=2^3*19*41	142310=2*5*7*19*107	624184=2^3*11*41*173
6368=2^5*199	168730=2*5*47*359	691256=2^3*71*1217
6 22 Euler 1747	19 22 Euler 1750	34 32 Mason 1921
10744=2^3*17*79	171856=2^4*23*467	635624=2^3*11*31*233
10856=2^3*23*59	176336=2^4*103*107	712216=2^3*127*701
7 X11 Brown 1939	20 22 Euler 1750	35 32 Euler 1750
12285=3^3*5*7*13	176272=2^4*23*479	643336=2^3*29*47*59
14595=3*5*7*139	180848=2^4*89*127	652664=2^3*17*4799
8 21 al-Banna 1300,	21 32 Alanen&Ore&	36 43 Alanen&Ore&
Farisi 1300 Fermat 1636	Stemple 1966	Stemple 1966
17296=2^4*23*47	185368=2^3*17*29*47	667964=2^2*11*17*19*47
18416=2^4*1151	203432=2^3*59*431	783556=2^2*31*71*89
9 21 Euler 1747	22 22 Euler 1747	37 32 Mason 1921
63020=2^2*23*5*137	196724=2^2*11*17*263	726104=2^3*17*19*281
76084=2^2*23*827	202444=2^2*11*43*107	796696=2^3*53*1879
10 22 Euler 1750	23 X32 Alanen&Ore&	38 X22 Alanen&Ore&
66928=2^4*47*89	Stemple 1966
66992=2^4*53*79	280540=2^2*5*13^2*83	802725=3*5^2*7*11*139
	365084=2^2*107*853	863835=3*5*7*19*433
11 22 Euler 1747		Stemple 1966
67095=3^3*5*7*71	24 32 Euler 1750	39 X22 Alanen&Ore&
71145=3^3*5*17*31	308620=2^2*5*13*1187	Stemple 1966
	389924=2^2*43*2267	879712=2^5*37*743
12 21 Euler 1747		901424=2^4*53*1063
69615=3^2*7*13*5*17	25 X32 Alanen&Ore&
87633=3^2*7*13*107	Stemple 1966	40 32 Euler 1747
	319550=2*7*5^2*11*83	898216=2^3*11*59*173
13 X22 Rolf 1964	430402=2*7*71*433	980984=2^3*47*2609
79750=2*5^3*11*29
88730=2*5*19*467	26 32 Mason 1921	41 32 Escott 1946
	356408=2^3*13*23*149	947835=3^3*5*7*17*59
	399592=2^3*199*251	1125765=3^3*5*31*269
	27 22 Euler 1750	42 32 Alanen&Ore&Stemple 1966
	437456=2^4*19*1439	998104=2^3*17*41*179
	455344=2^4*149*191	1043096=2^3*23*5669
	28 X12 Alanen&Ore&
	Stemple 1966
	469028=2^2*7^2*2393
	486178=2*7^2*11^2*41

No se sabe cómo hizo Descartes para descubrir su par.

Entre los hallazgos de Fermat se cuenta el redescubrimiento de una regla general (también conocida por un matemático árabe Ibn Qurra): “Si q = 3·2 ^p-1-1; r = 3·2 ^p - 1; s = 9·2 ^2p-1-1 son números primos, entonces n = 2 ^p ·q·r y m = 2 ^p ·s son números amigos”. Así, 220 corresponde a los valores de p = 2; q = 5 y r = 11, y 284 corresponde a los valores de p = 2; s = 71

Observemos en la tabla algunos hechos interesantes:

La suma de los divisores es siempre par, salvo para los números que son potencias de 2 multiplicadas por un cuadrado perfecto. En este caso, todos los paréntesis anteriores son impares.

La suma va creciendo más deprisa que el valor N, manteniéndose naturalmente siempre superior, pero los saltos son importantes. En el gráfico adjunto se representa el intervalo 5000-5100.

Una lista muy completa puede hallarse en http://amicable.homepage.dk/knwnc2.htm.

JMAiO