UNA CURIOSA PROPIEDAD CUADRÁTICA

De antiguo es conocido el triángulo pitagórico:

3² + 4² = 5²

Para algunos resultarán una sorpresa las siguientes generalizaciones de esa igualdad cuadrática:

10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365

21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²

Es inevitable preguntarse si estas igualdades son casuales u obedecen a alguna ley. ¿Es así?

SOLUCIÓN A “UNA CURIOSA PROPIEDAD CUADRÁTICA”

Si existe una ley, la correspondiente ecuación tomará la forma:

Desarrollando y simplificando se llega a:

O sea, finalmente:

De donde salen fácilmente los siguientes términos:

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²

55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65²

Obsérvese que la base del último cuadrado del término de la izquierda es siempre el cuádruple de un número triangular.

Estas series presentan una analogía trivial con las del tipo:

1 + 2 = 3

4 + 5 + 6 = 7 + 8

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

que es también muy fácil generalizar.

JMAiO, Salou, sep 99