ALGO MÁS SOBRE NÚMEROS PERFECTOS,
DEFICIENTES Y SUPERANTES
Los números perfectos son viejos conocidos en la
matemática recreativa. Sabido es que son aquéllos cuya suma de divisores
(excluido el propio número) igualan éste. Por ejemplo:
28 = 1
+ 2 + 4 + 7
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 +
248
Los números cuya suma de submúltiplos supera el número
son llamados superantes, y deficientes cuando se da el caso
contrario.
Vamos a detenernos un momento en el estudio de la propia
suma, S = S(N). El valor de ésta vale siempre 1 para los números primos, pero
aumenta en los compuestos más que proporcionalmente al tamaño de éstos. Si
llamamos "índice de superancia" al valor Is = S/N, vemos
que éste tiende a aumentar con el número de factores y con sus exponentes. Por
ejemplo, 12 es el primer número en que Is supera la unidad,
exactamente Is = 1,25. Para N = 120 tenemos ya Is = 2, y
sigue el crecimiento, aunque cada vez más lentamente, pues para un índice 3 hay
que esperar a 30240 = 25×33×5×7. Para un índice 4 habría que introducir, además de
los factores anteriores, 11 y 13 (invito a buscar el mínimo número de esas
características).
Cabría preguntarse por ello si este crecimiento es
indefinido o tiende a algún límite. Para ello consideremos un número cuya
descomposición en factores primos sea:
Por
comodidad, consideraremos en algunos casos la "gran suma" S' de sus
divisores, es decir, con el número incluido. En un número perfecto será S' =
2N, y el correspondiente "gran índice", I's, valdrá 2.
Dicha suma tiene por expresión:
Con
lo cual el gran índice de superancia vale:
Fácil es ver que al multiplicar el valor N por uno
cualquiera de sus factores el nuevo gran índice de superancia aumenta, y,
cuando todos los exponentes crecen, tiende al límite:
Por
ejemplo, para los números que son potencias de 2, el gran índice tiende a:
O, para los del tipo 2n3p, el
límite es
¿Qué ocurrirá al ir apareciendo nuevos exponentes? El
límite total sería:
Para
calcular este límite, desarrollemos cada uno de estos cocientes como suma de
una progresión geométrica:
El resultado de este producto será la suma de los
inversos de todos los números. En efecto, cada uno de ellos figurará una vez y
solo una en cada uno de los denominadores, ya que un producto cualquiera
engendra siempre un número, y dado un número cualquiera, habrá un producto que
se ajustará a su descomposición prima.
Es decir, en otras palabras, que el producto calculado
coincide con la serie harmónica, que es divergente.
Por lo tanto, el límite buscado es infinito. El índice de
superancia crecerá indefinidamente. Habrá números con su suma de divisores
proporcionalmente cada vez más alta, si bien se irán espaciando cada vez más,
como ya sugieren los primeros que aparecen.
De hecho, los primeros números superantes son pares. Progresivamente
aparecen los múltiplos de 4 y de 8, pero el primer impar superante no aparece
hasta
945 = 33×5×7
para el que Is =
1,0317.
Podría pues esperarse que Is creciera
suavemente con N. Y nuevamente tenemos aquí una sorpresa. El índice se mantiene
prácticamente constante, fluctuando ligeramente en torno a 1/4. ¿Cuál es la
causa de ello?
Otro resultado interesante se obtiene al investigar el
valor medio del índice de superancia, que parece converger a un número cercano
a 0,65. La función de densidad f(Is)
no presenta un aspecto uniforme, sino que está dotada de infinitos dientes de
sierra. En efecto, para todos los números primos es Is = 1/N, por lo
que 0 es un punto de acumulación. Pero hay muchos puntos más de este tipo: por
ejemplo, en los números de la forma N = 2P, siendo P primo, es S = 1 + 2 + P,
por lo que Is = 1/2 + 1/(2P), conque 1/2 es otro punto de acumulación. Y así
con 1/3, 1/22... y, en general, el inverso de cualquier número,
primo o compuesto, aunque las densidades concentradas en cada uno son tanto
menores cuanto mayor es el número.
Agradeceré mucho la continuación de este artículo por
parte de algún audaz investigador.
Barcelona, septiembre
1989