1234567890

 

Hacer monerías con los nueve dígitos (diez, si incluimos el cero) ha sido siempre una constante en la matemática recreativa. Por ejemplo, son bien conocidas las igualdades:

 

12345679 ´   9 = 111.111.111

12345679 ´ 18 = 222.222.222

12345679 ´ 27 = 333.333.333

12345679 ´ 36 = 444.444.444

12345679 ´ 45 = 555.555.555

12345679 ´ 54 = 666.666.666

12345679 ´ 63 = 777.777.777

12345679 ´ 72 = 888.888.888

12345679 ´ 81 = 999.999.999

 

Todas ellas, derivan del hecho de que obviamente 111.111.111 es múltiplo de 9. El resultado de esta división es 12345679, cociente en que falta el 8. Si lo incluimos, sale otra notable igualdad:

 

123.456.789 ´ 8 + 9 = 987.654.321

 

Por cierto, de esta última igualdad deriva la división “casi” exacta:

 

 

Es casi ocioso advertir que igualdades similares se darán con cualquier base de numeración.

 

Martin Gardner define los “conjuntos autoduplicadores” como aquellos subgrupos de los nueve dígitos susceptibles de formar números relacionados entre sí mediante las operaciones de suma y resta:

 

123456789 + 987654321 = 864197532

 

0123456789 + 9753086421 = 9876543210

 

01245789 + 98754210 = 97508421

 

459 + 495 = 954

 

Merece ser aquí incluido un comentario sobre ciertos números primos. Los formados por dígitos en orden cíclico descendente y consecutivo son escasos: 19, 43, 1987, 76.543, el mayor hasta ahora (con el 0, están 109 y 10.987). En cuanto a los ascendentes, empezando por 23 se conocen diecinueve, pasando por 23.456.789 y 1.234.567.891, hasta llegar al asombroso 1.234.567.891.234.567.891.234.567.891 (descubierto por Raphael Finkelstein & Judy Leybourn en la Universidad de Bowling Green en 1972).

Jaime Poniachik, creador de la revista argentina Snark y más tarde colaborador en Humor y Juegos, propone el siguiente problema, resuelto por su esposa, Lea Gorodsky: formar con los nueve dígitos un número de nueve cifras, de forma que el subnúmero formado por las dos primeras sea divisible por 2, el de las tres primeras por 3, etc. La solución es 381654729. Observemos el parentesco de este valor con la forma en que se disponen las cifras del cuadrado mágico de tercer orden:

 

8 1 6

3 5 7

4 9 2

 

Más cosas: los números 57.321 y 60.984 contienen, juntos, los diez dígitos. Sus respectivos cuadrados, 3.285.697.041 y 3.719.048.256 también contienen, cada uno, los diez dígitos.

Otras parejas con la misma propiedad: 35.172 y 60.984; 58.413 y 96702; 59.403 y 76.182.

Un problema clásico: intercalar entre los nueve dígitos, colocados en forma ascendente o descendente, los signos aritméticos habituales para conseguir un valor determinado. Para 100 existen las siguientes soluciones:

 

Orden directo:

123-45-67+89                        = 100

123+4-5+67-89          = 100

123+45-67+8-9          = 100

123-4-5-6-7-8-9        = 100

12-3-4+5-6+7+89      = 100

12+3+4+5-6-7+89     = 100

1+23-4+5+6+78-9     = 100

1+2+34-5+67+8+9    = 100

12+3-4+5+67+8+9    = 100

1+23-4+56+7+8+9    = 100

1+2+3-4+5+6+78+9  = 100

 

Orden inverso:

98-76+54+3+21         = 100

9-8+76+54-32+1       = 100

98-7-6-5-4+3+21       = 100

9-8+7+65-4+32-1      = 100

9-8+76-5+4+3+21     = 100

98-7+6+5+4-3-2-1    = 100

98+7-6+5-4+3-2-1    = 100

98+7+6-5-4-3+2-1    = 100

98+7-6+5-4-3+2+1    = 100

98-7+6+5-4+3-2+1    = 100

98-7+6-5+4+3+2-1    = 100

98+7-6-5+4+3-2+1    = 100

98-7-6+5+4+3+2+1   = 100

9+8+76+5+4-3+2-1   = 100

9+8+76+5-4+3+2+1  = 100

 

En realidad, con un programa informático puede obtenerse prácticamente cualquier número. Añadamos, como curiosidad, que si se permite añadir un signo ante el primer dígito el conjunto de soluciones se amplía:

 

-1+2-3+4+5+6+78+9 = 100

-9+8+76+5-4+3+21   = 100

-9+8+7+65-4+32+1   = 100

-9-8+76-5+43+2+1    = 100

 

                                                                                              Josep M. Albaigès

                                                                                              Salou, sep 99