1234567890
Hacer monerías con los nueve
dígitos (diez, si incluimos el cero) ha sido siempre una constante en la
matemática recreativa. Por ejemplo, son bien conocidas las igualdades:
12345679 ´ 9 = 111.111.111
12345679 ´ 18 = 222.222.222
12345679 ´ 27 = 333.333.333
12345679 ´ 36 = 444.444.444
12345679 ´ 45 = 555.555.555
12345679 ´ 54 = 666.666.666
12345679 ´ 63 = 777.777.777
12345679 ´ 72 = 888.888.888
12345679 ´ 81 = 999.999.999
Todas ellas, derivan del
hecho de que obviamente 111.111.111 es múltiplo de 9. El resultado de esta
división es 12345679, cociente en que falta el 8. Si lo incluimos, sale otra
notable igualdad:
123.456.789 ´ 8 + 9 = 987.654.321
Por cierto, de esta última
igualdad deriva la división “casi” exacta:
Es casi ocioso advertir que
igualdades similares se darán con cualquier base de numeración.
Martin Gardner define los
“conjuntos autoduplicadores” como aquellos subgrupos de los nueve dígitos
susceptibles de formar números relacionados entre sí mediante las operaciones
de suma y resta:
123456789 + 987654321 =
864197532
0123456789 + 9753086421 =
9876543210
01245789 + 98754210 =
97508421
459 + 495 = 954
Merece ser aquí incluido un
comentario sobre ciertos números primos. Los formados por dígitos en orden
cíclico descendente y consecutivo son escasos: 19, 43, 1987, 76.543, el mayor
hasta ahora (con el 0, están 109 y 10.987). En cuanto a los ascendentes,
empezando por 23 se conocen diecinueve, pasando por 23.456.789 y 1.234.567.891,
hasta llegar al asombroso 1.234.567.891.234.567.891.234.567.891 (descubierto
por Raphael Finkelstein & Judy Leybourn en la Universidad de Bowling Green
en 1972).
Jaime Poniachik, creador de
la revista argentina Snark y más
tarde colaborador en Humor y Juegos,
propone el siguiente problema, resuelto por su esposa, Lea Gorodsky: formar con
los nueve dígitos un número de nueve cifras, de forma que el subnúmero formado
por las dos primeras sea divisible por 2, el de las tres primeras por 3, etc.
La solución es 381654729. Observemos el parentesco de este valor con la forma
en que se disponen las cifras del cuadrado mágico de tercer orden:
8
1 6
3
5 7
4
9 2
Más cosas: los números
57.321 y 60.984 contienen, juntos, los diez dígitos. Sus respectivos cuadrados,
3.285.697.041 y 3.719.048.256 también contienen, cada uno, los diez dígitos.
Otras parejas con la misma
propiedad: 35.172 y 60.984; 58.413 y 96702; 59.403 y 76.182.
Un problema clásico:
intercalar entre los nueve dígitos, colocados en forma ascendente o
descendente, los signos aritméticos habituales para conseguir un valor
determinado. Para 100 existen las siguientes soluciones:
Orden
directo:
123-45-67+89 = 100
123+4-5+67-89 = 100
123+45-67+8-9 = 100
123-4-5-6-7-8-9 = 100
12-3-4+5-6+7+89 = 100
12+3+4+5-6-7+89 = 100
1+23-4+5+6+78-9 = 100
1+2+34-5+67+8+9 = 100
12+3-4+5+67+8+9 = 100
1+23-4+56+7+8+9 = 100
1+2+3-4+5+6+78+9 = 100
Orden
inverso:
98-76+54+3+21 = 100
9-8+76+54-32+1 = 100
98-7-6-5-4+3+21 = 100
9-8+7+65-4+32-1 = 100
9-8+76-5+4+3+21 = 100
98-7+6+5+4-3-2-1 = 100
98+7-6+5-4+3-2-1 = 100
98+7+6-5-4-3+2-1 = 100
98+7-6+5-4-3+2+1 = 100
98-7+6+5-4+3-2+1 = 100
98-7+6-5+4+3+2-1 = 100
98+7-6-5+4+3-2+1 = 100
98-7-6+5+4+3+2+1 = 100
9+8+76+5+4-3+2-1 = 100
9+8+76+5-4+3+2+1 = 100
En realidad, con un programa
informático puede obtenerse prácticamente cualquier número. Añadamos, como
curiosidad, que si se permite añadir un signo ante el primer dígito el conjunto
de soluciones se amplía:
-1+2-3+4+5+6+78+9 = 100
-9+8+76+5-4+3+21 = 100
-9+8+7+65-4+32+1 = 100
-9-8+76-5+43+2+1 = 100
Salou,
sep 99