Problema
del reparto de un botín
Enunciado:
Es bien conocido el método para repartir un botín (o cualquier conjunto numeroso de bienes) entre 2 personas de modo que cada una de ellas quede satisfecha
de haber obtenido por lo menos la mitad del botín. El método consiste en que una de las 2 personas
haga 2 partes del botín que considere equitativas; y que la otra
persona escoja una de estas
2 partes.
Pero es muchísimo más difícil establecer un método para
repartir un botín entre 3 personas
de modo que cada una de ellas
quede satisfecha de haber obtenido por lo menos la tercera parte del botín. Hay que tener presente que estas 3 personas pueden tener diferentes
opiniones sobre el valor de los bienes
de cualquier división del botín. La resolución de este problema aparecerá en la próxima edición, a fin de dar un tiempo razonable a quien se atreva a resolverlo.
Problema del reparto de un botín (Solución)
Recordemos que el método de reparto entre dos personas consiste en que una de ellas hace 2 partes del botín que considera equitativas;
y que la otra persona escoje
una de estas 2 partes. Para
repartir entre tres personas A, B y C el método es el siguiente:
La persona A divide
el botín en tres partes que
él considera de igual valor; llamémoslas
1, 2 y 3. La persona A pide a B y C que elijan una parte. Se pueden dar los tres casos siguientes:
Caso 1:
B y C eligen partes distintas
(por ejemplo, 2 y 3).
Entonces A coge 1,
B coge
2,
C coge
3
y el problema queda resuelto.
Caso 2:
B y C eligen la misma parte (por ejemplo, 2).
Entonces A pide a B y C que elijan una segunda opción. Si B y C eligen la misma parte (por ejemplo, 3),
entonces A coge 1,
B y C se reparten
2 y 3 según el método de
las dos personas
y el problema queda resuelto.
Caso 3:
B y C eligen la misma parte (por ejemplo, 2).
Entonces A pide a B y C que elijan una segunda opción. Si B y C eligen partes distintas
(por ejemplo, B elige 1 y C
elige 3),
entonces B y C se reparten 2 según el método de las dos personas,
B y A se reparten
1 según el método de las
dos personas,
C y A se reparten
3 según el método de las
dos personas
y el problema queda resuelto.
Comprobación para un caso particular:
Sea el caso
particular en que A, B y C deban quedar satisfechas de haber obtenido por lo menos la tercera parte del botín con los valores siguientes:
Tabla de valores
|
|
|
Partes |
||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
Personas |
A |
20 |
20 |
20 |
|
B |
22 |
24 |
18 |
|
|
C |
16 |
24 |
20 |
|
B y C se reparten 2 y cada uno cree llevarse por valor de 24/2 =
12
B y A se reparten 1 y B cree llevarse 22/2 = 11 y A cree llevarse 20/2 = 10
C y A se reparten 3 y C cree llevarse 20/2 = 10 y A cree llevarse 20/2 = 10
Resumiendo:
A cree llevarse 10 + 10 = 20 que cree que es la tercera parte del botín;
B cree llevarse 12 + 11 = 23 que cree que es más que la tercera parte del botín que según él es (22 + 24 + 18)/3 =
21,3;
C cree llevarse 12 + 10 = 22 que cree que es más que la tercera parte del botín que según él es (16 + 24 + 20)/3 =
20.