El problema de grandullín y chiquitón

Propuesto por JMAiO, este bello problema de lógica tiene el siguiente

Enunciado:

De una formación de 10 por 10 soldados, de tallas distintas, se hacen dos listas:

a) la de «grandullones», anotando al más alto de cada columna

b) la de «chiquitines», anotando al más bajo de cada fila.

Llamaremos «grandullín» al más bajo de los grandullones y «chiquitón» al más alto de los chiquitines.

La cuestión es ¿qué puede decirse de la relación entre grandullín y chiquitón?

Solución:

Para simplificar llamemos G a grandullín y C a chiquitón. Tomemos como pivote al soldado P que ocupa la misma columna que G y la misma fila que C. Tenemos tres posibilidades:

1) G y C ocupan filas y columnas distintas, es decir que P no coincide ni con G ni con C. En tal caso resulta que P ha de ser más bajo que G, o de otro modo G no hubiera sido incorporado a la lista como el más alto de su columna, y también ha de ser P por otra parte más alto que C, porque de no ser así C no figuraría en la lista como el más bajo de su fila. De ello resulta que G es necesariamente más alto que C, ya que es más alto que P y éste a su vez más alto que C. Dicho de otro modo, en este caso grandullín es con seguridad más alto que chiquitón.

2) G y C ocupan la misma fila o la misma columna, pero no ambas cosas. En tal caso G ha de ser mayor que C: de estar en la misma columna, porque G ha sido elegido como el más alto, y de estar en la misma fila, porque C lo ha sido como el más bajo.

3) G y C comparten la misma fila y la misma columna, es decir que coinciden. Para que esto sea posible basta que en esa columna el resto de los soldados tengan menor talla (si no el soldado en cuestión no pertenecería al grupo de los grandullones) y en esa fila tengan los demás mayor talla (o nuestro soldado no pertenecería a los chiquitines).

La conclusión es que en general grandullín es más alto que chiquitón, excepto en el caso particular de que coincidan.

Solución en lenguaje matemático:

Hagamos corresponder a la formación de soldados una matriz cuadrada cuyos términos sean las tallas de los soldados. Si a grandullín le corresponde el término t_mn y a chiquitón el t_pq (los subíndices indican fila y columna, en este orden), entonces para el término pivote t_mq valdrá la relación t_mn ≥ t_mq ≥ t_pq en virtud del mismo razonamiento anterior. De aquí se deduce que t_mn > t_pq (grandullín mayor que chiquitón) excepto en el caso particular de que se tenga t_mn = t_mq = t_pq, es decir que los tres términos coincidan en uno, o sea que grandullín y chiquitón sean el mismo.

La misma lógica con otro formalismo. Por supuesto, el número de columnas y de filas es irrelevante, es decir que se razona igual si la formación es rectangular en lugar de cuadrada, con un número de filas no necesariamente igual al de columnas.

Receta para construir un ejemplo en que grandullín y chiquitón sean iguales.

Hablaremos de tallas (números) en lugar de soldados.

1) Elegir un número que se desee que represente a chiquitón igual a grandullín. Coloquémoslo por comodidad en columna 1, fila 3, por ejemplo. Más tarde tanto la fila como la columna se pueden desplazar a otra posición sin mayor problema, si se quiere que nuestro soldado ocupe otro lugar.

2) Para que nuestro número pueda corresponder a grandullín habrá de ser uno de los grandullones, así que en su columna hay que colocar números menores que él.

3) Para que pueda corresponder a chiquitón habrá de ser uno de los chiquitines, así que en su fila hay que poner números mayores.

4) En cuanto al resto, hay que cuidar que cada columna restante tenga al menos un número mayor que el dado (así nuestro número será finalmente grandullín) y cada fila tenga al menos un número menor que el dado (así nuestro número será finalmente chiquitón). El resto se rellena de cualquier modo.

5) Ahora se puede trasponer la columna y luego la fila a cualquier lugar del interior de la matriz, sin que dejen de valer las condiciones impuestas.

La tabla siguiente muestra un ejemplo particular, en donde se ha elegido el número 200 como elemento común.

170	171	172	173	174	175	176	177	178	169
180	181	982	183	184	185	186	187	179	188
190	191	192	893	194	195	196	189	197	198
200	210	220	230	240	250	260	270	280	290
160	161	162	163	164	159	165	166	167	168
150	151	152	153	149	154	655	156	157	158
140	141	142	139	143	144	145	546	147	148
130	131	129	132	733	759	135	136	437	138
120	119	121	122	123	124	125	126	127	328
110	111	112	113	114	115	116	117	118	119

grandullones (columnas) = (200, 210, 982, 893, 733, 759, 655, 546, 437,328)

chiquitines (filas) = (169, 179, 189, 200, 159, 149, 139, 129, 119, 110)

Grandullín = Chiquitón = 200

Supuesto de posibles tallas iguales.

Si se contempla la posibilidad de que en una misma fila o en una misma columna existan soldados de igual talla, y que se da la libertad de elegir uno cualquiera de ellos para la lista en caso de empate, entonces podría darse el caso de que G tuviera la misma talla que C sin necesidad de coincidir con él. Por sencillez ofrecemos un ejemplo de una disposición de 4 x 4:

200	210	200	205
200	201	202	203
180	202	206	176
170	203	165	182

grandullones (columnas) = (200 (fila 2), 210, 206, 205)

chiquitines (filas) = (200 (columna 3), 200, 176, 165)

grandullín = 200 (columna 1, fila 2) = chiquitón (columna 3, fila 1)

P. Crespo, 15 marzo 2006