Dos teoremas y una paradoja

Hay teoremas que por su curiosidad (teorema de Goodstein) o por su compejidad (teorema de la incompletitud, de Kurt Gödel), merecen atención especial. El teorema de Goodsteinm que aquí les presento, es un peculiar teorema cuyo desarrollo nos conduce a un sorprendente final. El teorema de Gödel, por el contrario, supuso un serio varapalo para los que creían que las matemáticas eran un conjunto lógico de reglas que se bastaban a sí mismas. En realidad, lo que Gödel propuso fueron dos teoremas. El primero, simplificado, afirma:

En cualquier formalización consistente de las matemáticas capaz de determinar el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.

Se trata de un teorema en lógica formal, y ha sido, con frecuencia, malinterpretado. El segundo teorema de la incompletitud de Gödel, que se demuestra formalizando parte de la prueba del primer teorema dentro del propio sistema, afirma:

Ningún sistema consistente puede usarse para demostrarse a sí mismo.

Lo que aquí se presenta, en forma de fábula, es un compendio de los dos. Para finalizar, se expone una bella paradoja, la paradoja de Banach-Tarski, que lleva el nombre de los dos matemáticos polacos que la elucubraron. Para su mejor entendimiento, he utilizado el recurso de referirla a una conocida enciclopedia.

El teorema de Goodstein

La mejor manera de explicar en qué consiste este singular teorema es desarrollándolo. Se recomienda al lector que, salvo que disfrute con los desarrollos matemáticos, se abstenga de seguirlos y se circunscriba a seguir el razonamiento, que es en definitiva lo peculiar y sorprendente. Los cálculos (y la forma de desarrollarlo) los he tomado del prestigioso matemático y físico Roger Penrose.

Considérese cualquier número entero positivo, por ejemplo el 581. Primeramente reducimos este número a una suma de distintas potencias de 2:

581 = 512 + 64 + 4 + 1 = 2⁹ + 2⁶ + 2² + 2⁰

Repárese en que los exponentes (9, 6, y 2) pueden ser representados, a su vez, en forma de potencia de dos, pues 9 = 2³ + 2⁰ ; 6 = 2² + 2¹; 2 = 2¹ , y de esta forma, haciendo 2⁰ = 1 y 2¹ = 2, obtenemos:

_{581 = 2}2³+1 _{+ 2}2²+2 _{+ 2}2 _{+ 1}

Todavía queda un exponente que no está en base 2, en concreto el 3, que puede adoptar la forma 3 = 2¹ + 2⁰. Esto nos permite finalmente escribir la anterior igualdad en base 2:

_{581 = 2}2²⁺¹+1 _{+ 2}2²+2 _{+ 2}2 _{+ 1} [G]

Y ahora comienza la fase de desarrollo del teorema. A la expresión anterior le aplicamos una sucesión de operaciones simples, a saber:

incrementar la base en 1

restar 1 de la ecuación

La base a que se refiere (a) es simplemente el número “2”, pero podemos encontrar representaciones similares para bases más grandes: 3, 4, 5 ,6, etc. Veamos lo que sucede si aplicamos la operación a) a la expresión [G], de tal manera que los “doses” se conviertan en “treses”. Obtenemos:

₃3³⁺¹+1 _{+ 3}3^3-1+3 _{+ 3}3 _{+ 1}

El resultado es un número de 40 dígitos que comienza así: 133027946…..

Ahora aplicamos b), o sea, restamos 1, y obtenemos:

₃3³⁺¹+1 _{+ 3}3²+3 _{+ 3}3

que, por supuesto, sigue siendo un número de 40 dígitos que comienza como el anterior. Aplicamos de nuevo a), y obtenemos:

₄4⁴⁺¹+1 _{+ 4}4⁴+4 _{+ 4}4

El resultado es un número de 618 cifras que comienza con los dígitos 12926802… La operación b), que resta una unidad nos lleva a:

₄4⁴⁺¹+1 _{+ 4}4⁴+4 _{+ 3 x 4}3 _{+ 3 x 4}2 _{+ 3 x 4 + 3}

donde los treses se originan análogamente a los “nueves” que surgen en base 10 ordinaria cuando restamos 1 de 1000 para obtener 999.

Obtenida la nueva expresión, repetimos de nuevo la operación a):

₅5⁵⁺¹+1 _{+ 5}5⁵+5 _{+ 3 x 5}3 _{+ 3 x 5}2 _{+ 3 x 5 + 3}

que representa a un número de 10923 cifras y que comienza con los dígitos 1274…. Ha de hacerse notar que los coeficientes 3 que aparecen aquí son necesariamente menores que la base (ahora 5) y no están afectados por el incremento de la misma. Ahora, siguiendo el procedimiento, aplicamos b):

₅5⁵⁺¹+1 _{+ 5}5⁵+5 _{+ 3 x 5}3 _{+ 3 x 5}2 _{+ 3 x 5 + 2}

Y así continuamos alternativamente aplicando las operaciones simples a) y b) a la expresión. A primera vista los números parecen ir creciendo ad infinitum. Sin embargo no es así, y esa es la particularidad del Teorema de Goodstein. Este teorema afirma, y demuestra, que no importa el número entero positivo con el que comencemos (aquí el 581), ¡finalmente siempre se llega a cero!

Parece algo asombroso, pero es cierto. Hagamos la prueba con un número pequeño. Si hubiésemos elegido el número 3, por ejemplo, donde 3 = 2¹ + 1, la secuencia de resultados sería: 3, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 0. De haber elegido el 4, donde 4 = 2², hubiéramos obtenido una secuencia que comienza así: 4, 27, 26, 42, 41, 61, 60, 84, … y que alcanza su pico con un número de 121.210.695 dígitos para comenzar luego a disminuir hasta llegar a cero.

El teorema de Goodstein es en realidad un teorema de Gödel para el proceso que se denomina inducción matemática.

Las matemáticas a menudo son erróneamente consideradas como la ciencia del sentido común.

(Edward Kasner & James R. Newman)

El teorema de la incompletitud de Gödel

Como este teorema es complejo y difícil de entender (por lo menos para mí) lo expondré en forma de pequeña fábula paradójica, que es como lo expuso el matemático y escritor de ciencia-ficción Rudy Rucker en su libro Infinity and the Mind. Es, pese a lo concreto de la fuente, una adaptación personal.

A) Alguien presenta a Gödel a la MVU, una máquina que supuestamente es la Máquina de la Verdad Universal, capaz de responder correctamente a cualquier pregunta que se le formule.

B) Gödel pide los programas y los diagramas de los circuitos de la MVU. El programa, por muy complicado que sea, debe tener una longitud finita. Llamemos a dicho programa P(MVU), o sea, Programa de la Máquina de la Verdad Universal.

C) Sonriendo, Gödel escribe la siguiente frase: “La máquina construida sobre la base del programa P(MVU) nunca dirá que esta sentencia es verdadera”. Llamemos a esta sentencia G, por Gödel. Reparad que G es equivalente a “MVU nunca dirá que G es verdadera”.

D) Ahora Gödel, riéndose sardónicamente, pregunta a la MVU si G es verdadera o no.

E) Si la MVU dice que la sentencia G es verdadera, entonces “MVU nunca dirá que G es verdadera” es falso. Si “MVU nunca dirá que G es verdadera” es falso, entonces G es falso (puesto que G = “MVU nunca dirá que G es verdadera”). Luego si la MVU dice que G es verdadero, entonces G es de hecho falso, y la MVU ha realizado un falso pronunciamiento. Entonces la MVU nunca dirá que G es verdadero, puesto que la MVU sólo da respuestas verdaderas.

F) Hemos establecido que la MVU nunca dirá que G es verdadero. Luego “MVU nunca dirá que G es verdadero” es de hecho una frase verdadera. Entonces G es verdadero (puesto que G = “MVU nunca dirá que G es verdadero”).

G) “Conozco una verdad que la MVU nunca podrá pronunciar”, anuncia el señor Gödel triunfante, “Sé que G es verdadera, pero la MVU nunca lo podrá decir. La MVU no es realmente universal”.

En resumen, lo que Gödel vino a demostrar es que no todo es demostrable en un sistema formal, que existen en aritmética enunciados verdaderos que nunca pueden ser probados. Y que si alguien lograra dar con una prueba de que la aritmética es consistente, por esa misma razón no lo sería. En fin, cosas de las matemáticas modernas.

Esta prueba, formulada por el austriaco Kurt Gödel en 1931, es uno de los descubrimientos más importantes y devastadores de todas las matemáticas.

(J.M. Dubbey)

La paradoja Banach-Tarski

Cerremos esta sección con una paradoja con nombre propio. Tarski pertenecía a un grupo de matemáticos polacos que se reunían en el Scottish Café en la ciudad de Lvov. Banach era otro de los asistentes. De esas reuniones surgieron ideas curiosas, entre ellas la que se conoce como “Paradoja Banach‑Tarski”. Data de 1924 y afirma que es posible descomponer (dividir) una esfera sólida en un número finito de piezas que posteriormente podrían ser reagrupadas, por medio de movimientos rígidos, para formar dos esferas sólidas cada una del mismo tamaño que la original. Banach y Tarski no pusieron límite al número de piezas requeridas, pero en 1928, John von Neumann afirmó sin pruebas que sólo se necesitarían nueve piezas. En 1946 Raphael Robinson redujo esta cantidad a cinco. Con menos de cinco no es posible.

Este teorema suena completamente demente, y todavía hoy mucha gente se resiste a creerlo. ¿Qué pasa con el volumen?, argumentan. Éste se duplica, le responden. ¡Pero eso es imposible! Pero sí, es posible: el ardid consiste en que las piezas cortadas son tan complicadas que no poseen volumen. Y como no poseen volumen, el volumen total puede cambiar.

Para hacernos una idea más cercana a nuestro entendimiento de la paradoja, pensemos en un diccionario mejor que en una esfera. Éste es el truco que emplea el matemático Ian Stewart para facilitar la comprensión. Se trataría de un diccionario idealizado denominado HiperEspasa, que contendría todas las posibles palabras, tengan éstas sentido o no, que puedan formarse con las 26 letras de nuestro abecedario. Las palabras se arreglan en orden alfabético. Comienza con la serie: A, AA, AAA, AAAA, AAAAA… y sólo tras agotar esta secuencia hasta el infinito se pasa a la AB, ABA, ABAA... Queda claro que todas las palabras, incluidas, AAWWISKKY, BANACH, TARSKI Y ZORRESTIADA tienen cabida en la lista. Ahora vamos a descomponer el HiperEspasa en 26 copias de sí mismo, cada una manteniendo el orden alfabético original, pero con una palabra añadida.

La primera de las 26 copias, llamémosle “Volumen A”, consistiría en el HiperEspasa original anteponiendo una A a todas las palabras. El segundo volumen, denominado “Volumen B”, consistiría en el HiperEspasa original anteponiéndole B a todas las palabras del mismo. Y así hasta completar las 26 copias, una por cada letra del abecedario. Echemos un vistazo al “Volumen B”. Este volumen comienza con BA, BAA, BAAA, BAAAA, … En realidad, este volumen contendría todas las palabras del HiperEspasa exactamente una vez, pero con la B pegada al comienzo de cada una: BAAWWISKKY, BBANACH, BTARSKI y BZORRESTIADA. Incluso conservando el mismo orden. Esto sucedería en cada uno de los volúmenes construidos con las 25 letras restantes del alfabeto. Cada volumen es una copia perfecta del primitivo HiperEspasa, con una letra extra al comienzo de cada palabra. En resumen, un HiperEspasa puede ser cortado y vuelto a ensamblar, sin alterar el orden de las palabras, para formar 26 HiperEspasas idénticos más un alfabeto de recambio (extra). Si cambiamos la palabra HiperEspasa por “esfera”, la palabra “palabra” por “punto” y la frase “sin alterar el orden de” por “sin alterar las distancias entre”, obtenemos una explicación para la paradoja Banach‑Tarski aplicado a los volúmenes de las esferas. Bueno, o casi. Lo curioso es que los matemáticos, pese a la carga paradojal de la exposición, aceptan esta demostración, por eso está aquí. No somos quién para llevarles la contraria.

Otra consecuencia del teorema [Paradoja de Banach & Tarski], realmente más alarmante, es que si tomamos una esfera de radio una unidad (una esfera “unidad”) y la cortamos en nueve trozos que posean la propiedad descrita por ambos matemáticos, cinco de esos trozos pueden juntarse, sin huecos, para formar una esfera y los restantes cuatro trozos, también sin huecos, podrían rearmarse en otra esfera. Es como obtener algo de la nada.

(Calvin C. Clawson)

Lamberto García del Cid

Zaragoza, 30 de diciembre de 2006