LA VENTAJA DE LA SALIDA
En muchos juegos se da un factor muy
importante para su desarrollo: el hecho de que uno de los jugadores sea mano, o
sea que le corresponda la salida, hecho que generalmente le es beneficioso. En
el ajedrez, por ejemplo, el hecho de jugar con blancas supone una ventaja,
tanto real como psoicológica, que en todo caso parece pequeña, pues se conviene
en que se debilita a lo largo de la partida.
¿Qué hay de cierto en esto? Para
investigarlo, hemos imaginado un juego muy sencillo. Consiste en ser el primero
entre dos jugadores en alcanzar una puntuación n mediante tiradas alternativas
de un dado con caras numeradas del 1 al 6.
El cálculo directo teórico sólo es accesible
en casos muy sencillos. Así, por ejemplo, para n = 1, es evidente que el
jugador que es mano tiene la victoria asegurada, su probabilidad p vale 1. Para
n = 2, una sencilla reflexión lleva a p
= 1 – 1/6×5/6 = 31/36 = 0,861 pero para
valores superiores de n los cálculos se vuelven inreíblemente complicados,
aunque podrían obtenerse aproximaciones con la estimación de la suma más
probable mediante la distribución binomial.
|
Meta |
p |
Meta |
p |
|
10 |
0,66188 |
260 |
0,53476 |
|
20 |
0,62172 |
270 |
0,53383 |
|
30 |
0,59617 |
280 |
0,53379 |
|
40 |
0,58294 |
290 |
0,53244 |
|
50 |
0,57378 |
300 |
0,53325 |
|
60 |
0,57045 |
310 |
0,53319 |
|
70 |
0,56346 |
320 |
0,53192 |
|
80 |
0,56278 |
330 |
0,53214 |
|
|
0,55534 |
340 |
0,53149 |
|
100 |
0,55574 |
350 |
0,52917 |
|
110 |
0,5501 |
360 |
0,52879 |
|
120 |
0,54807 |
370 |
0,52804 |
|
130 |
0,54646 |
380 |
0,52902 |
|
140 |
0,54598 |
390 |
0,5265 |
|
150 |
0,54607 |
400 |
0,53028 |
|
160 |
0,54087 |
410 |
0,52539 |
|
170 |
0,5429 |
420 |
0,52855 |
|
180 |
0,5406 |
430 |
0,52443 |
|
190 |
0,5387 |
440 |
0,52749 |
|
200 |
0,53694 |
450 |
0,52413 |
|
210 |
0,54096 |
460 |
0,52635 |
|
220 |
0,53551 |
470 |
0,52625 |
|
230 |
0,53487 |
480 |
0,52378 |
|
240 |
0,53743 |
490 |
0,52513 |
|
250 |
0,53476 |
500 |
0,52617 |
Sin embargo, puestos a utilizar este caso,
resulta mucho más sencillo proceder a un
estudio por el método de Monte-Carlo, simulando por ordenador los lanzamientos
de los dados. Así se ha hecho para valores de n = 10 hasta n = 500,
obteniéndose en el resultado algunas sorpresas.
Se han resumido los resultados en la tabla
adjunta, representada en la gráfica. Como era de esperar, en valor de p para el jugador mano tiende a 0,50,
pero:
·
Para valores de n muy bajos, en que parecería que el valor debería
estar muy próximo a 1, se mantiene en valores discretos. Así, p(10) = 0,66.
·
En cambio, la convergencia hacia p = 0,50 es bastante lenta. De hecho,
para n = 500, en que parece que la ventaja de la salida debería haber quedado
totalmente difuminada, es todavía p = 0,52.
Se llega a la concusión de que para que el juego fuera equitativo debería compensarse la ventaja del mano de alguna manera, por ejemplo permitiendo que el jugador postre ganara con una puntuación inferior a n. ¿Cuál sería ésta? Una sencilla reflexión lleva a que el valor debería ser igual a la tirada media, o sea v = (1+2+3+4+5+6)/2 = 3,5 puntos.
JMAlbaigès,
BCN ene 01