De un tiempo a esta parte se ha puesto de moda el “sudoku” como entretenimiento “solitario”. Numerosos periódicos y revistas de información general incluyen este juego, junto a los crucigramas; sopas de letras; cuadrados mágicos; numerogramas y otros pasatiempos similares.
Como es sabido un sudoku es, en su formato más habitual, un cuadro de nueve filas y nueve columnas (9x9), subdividido a su vez en nueves cuadros menores de 3X3, que debe ser completado con los dígitos 1 al 9, de forma y manera que no se repita la misma cifra en ninguna columna, en ninguna fila, y en ningún recuadro menor, como en el ejemplo siguiente:
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El juego “solitario” consiste en dar un cuadro con solo unas cuantas casillas numeradas y solicitar al jugador que lo complete, y si es posible que cronometre el tiempo dedicado a ello. Por supuesto existen grados de dificultad, y en alguna publicación pude darse un tiempo normal para que el jugador compruebe su habilidad.
Su nombre procede del japonés Su Doku, que viene a significar algo así como colocar números, y tal denominación actual deriva de la gran afición existente en Japón a este entretenimiento de donde se ha extendido a todo el mundo. En realidad fue ideado, según creo recordar en el siglo XVIII, por Leonard Euler, que investigó este tipo de estructuras combinatorias, junto a otras como los cuadrados mágicos y similares.
Evidentemente en el ahora llamado sudoku los números como tales no tienen ninguna importancia, ni debe operarse con ellos. Se trata sencillamente de una peculiar estructura combinatoria, que igual podríamos formarla con un surtido apropiado de letras latinas o griegas, números romanos, colores, u otros signos distintivos. Por supuesto caben sudokus de diferentes dimensiones, por ejemplo de 4x4, y en general nxn, siempre que n sea un cuadrado perfecto ( 4; 9; 16...). Por ejemplo:
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Estas estructuras combinatorias plantean interesantes cuestiones. La primera de ellas es ¿Cuántos sudokus existen en un cuadro nxn?. En primer lugar habría que definir qué entendemos por “sudokus diferentes”. Es claro que dado un sudoku cualquiera, como el 9x9 más arriba reproducido, existen 9! estructuras equivalentes solo con permutar los valores numéricos. Si hacemos, por ejemplo, la transformación permutacional
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 2 7 8 4 1 5 9 2
obtendremos uno de los 9! sudokus aparentemente diferentes pero que, en realidad, representan un estructura combinatoria equivalente en todo a la originaria. La verdadera pregunta es por tanto cuantos sudokus nxn estructuralmente diferentes existen. Dos estructuras serán diferentes en este sentido cuando no puedan ser reducidas una a otra mediante una simple transformación permutacional, o por una correspondencia biunívoca de unos signos en otros.
Otra cuestión interesante es calcular el numero máximo de casillas cumplimentadas arbitrariamente (pero de forma “legal” naturalmente) que permiten terminar correctamente el sudoku. ¿Sería en tal caso unívoca la solución?.
Dejaremos todo esto al cuidado de los amigos de © que sin duda alguna sabrán mucho más que el que suscribe sobre esta materia y sobre tantas otras.
Hasta el momento solo he visto el sudoku como juego “solitario” de una sola persona. No he conocido – lo que no quiere decir que no exista ya - el planteamiento como juego bipersonal de estrategia. El cuadro se irá cumplimentando por turnos entre los jugadores A y B, que al hacerlo deben respetar obviamente las reglas del sudoku. Perderá el jugador que se quede sin movimiento legal, reputándose tablas el sudoku totalmente terminado. Podríamos llamar bidoku a esta variante bipersonal del juego.
Pongamos un ejemplo sencillo en un bidoku 4x4. Abre el juego A que sitúa la cifra 1 en la casilla 1.1. Seguidamente B pone un 4 en la casilla 2.2, y así sucesivamente. Después del sexto movimiento de B (un 2 en la casilla 3.3) el bidoku ofrece la siguiente situación, en la que la letra junto al número indica el jugador que lo anotó.
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1A |
2 A |
4A |
3A |
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4B |
1B |
2A |
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3B |
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2B |
4B |
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4A |
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1B |
Acto seguido el jugador A, a quien corresponde turno, sitúa un 1 en la casilla 3.2, quedando el juego en la siguiente posición.
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1A |
2 A |
4A |
3A |
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1B |
2A |
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3B |
1A |
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4A |
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1B |
El jugador B hace a su vez el siguiente movimiento situando un 3 en la casilla 4.2.
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1A |
2 A |
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3A |
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1B |
2A |
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1A |
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4B |
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4A |
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1B |
En esta situación el jugador A, al que le tocaría turno, se queda sin juego posible, ya que sea cual sea el número (1 al 4) que anote en alguna de las dos casillas vacías, se violan las reglas del juego. Por lo tanto gana B y pierde A. No nos hubiese costado mucho esfuerzo encontrar una secuencia de jugadas que llevasen a la victoria de A, e incluso a completar el cuadro con empate. Evidentemente en un bidoku en formato habitual 9x9 la solución sería menos sencilla de prever.
Dejamos a los compañeros de © el estudiar y encontrar estrategias ganadoras o al menos defensivas, y determinar si existe o no alguna estrategia trivial que deje sin interés el juego, o por el contrario si no es tan sencillo dar con las mismas. ¿Tendrá alguna ventaja o desventaja iniciar el juego?.
José Antonio de Echagüe.