NO JUEGUES, HIJO MÍO

El cálculo de probabilidades confirma la sabiduría de este consejo que tanto se prodigaba a los de mi generación. Dentro de la teoría de juegos hay dos problemas clásicos bastante relacionados: el problema de Lagrange y el del juego indefinido. Combinados, llevan a un sorprendente resultado.

Problema de Lagrange.

Si una partida se interrumpe faltando por jugar m manos al jugador A y n al jugador B, y estando sobre la mesa un monte M, ¿en qué proporción deberá ser éste repartido entre los jugadores? Las probabilidades de ganar cada mano son p y q, respectivamente.

Es de sentido común que deberá serlo en las proporciones de las probabilidades de ambos jugadores de ganar la partida. Sean las probabilidades respectivas de A y B las funciones x(m,n), y(m,n). Si el juego continuara y la siguiente mano fuera ganada por A, la función para B pasaría a ser y(m-1,n), y si A perdiera, la misma función sería y(m,n-1). Por tanto, es claro que:

y(m,n) = py(m-1,n) + q y(m,n-1)

Se trata de una ecuación recurrente, de la cual tenemos algunos valores particulares. Obsérvese además que en el caso particular en que A tuviera jugadas todas las manos, sería y(0,n’) = 1, ya que habría ganado la partida, y en el caso contrario, y(m’,0) = 0.

Lagrange dio la solución:

Como era de esperar, los valores son en principio más favorables al jugador de mayor probabilidad y al que tenga menos partidas por jugar.

Problema de la ruina a largo plazo.

Los jugadores A y B poseen los capitales m y n y juegan hasta que uno de ellos arruina al otro.

Sea y(n) la probabilidad de ruina para B cuando su capital es n.

Si B gana la siguiente partida, su probabilidad pasará a ser y(n-1). Si la pierde, será y(n+1). Por tanto:

y(n) = py(n-1)+qy(n+1)

Análogamente sería:

qy(n+1) – y(n+1) + (1-q)y(n) = 0

Ésta es otra ecuación en diferencias finitas, suya solución general es:

y(n) = C₁ + C₂ln

donde es l = p/q.

Se determinarán las constantes C₁ y C₂ observando que y(0) = 1; y(m+n) = 0, de donde resulta:

Por ejemplo, si las probabilidades son iguales (p = q = ½), y el fondo de A es el doble que el de B, la probabilidad de que éste resulte arruinado es 2/3, y se obtiene de la fórmula anterior pasando, en este caso, al límite, pues l = 1.

Obsérvese el interés del resultado: el hecho de que uno de los jugadores posea mayor potencia económica que el otro es por sí mismo un factor muy importante para favorecer su victoria. En algunos juegos (v. gr. el póquer) está prohibido retirarse de la mesa mientras se gana, lo que es tanto como garantizar la victoria del adversario de la misma fuerza si éste posee más solvencia.

Problema conjunto

De lo anterior resulta que siempre el jugador más rico, por su superior potencia económica, está en unas condiciones de ganar muy superiores a su probabilidad. En el caso en que un simple jugador juegue contra la poderosa banca de un casino, está condenado a la ruina a la larga: lo único que le salva es la posibilidad de retirarse a tiempo aprovechando una problemática racha favorable. De lo contrario la victoria sería siempre del casino.

En otras palabras: si antes de iniciarse la partida se diera un corte de luz y hubiera que proceder al reparto de fichas, el jugador debería entregar siempre la totalidad de las suyas al casino.

¡No juegues, hijo mío!

Josep M. Albaigès

Torredembarra, julio 2004