¿LIGA O ELIMINATORIAS?

Los dos sistemas más utilizados para decidir un campeonato deportivo son el de encuentros de todos contra todos (sistema liga) y el de eliminatorias (sistema copa). Sobradamente conocidos, nos abstendremos de definirlos.

¿Se obtiene el mismo jugador o equipo campeón con ambos sistemas? Tanto la intuición como la experiencia sugieren que no, y que el segundo sistema ofrece mayores posibilidades a los equipos más débiles. Sabido es que la relación de los campeones de la liga de fútbol es mucho menos extensa que la de los campeones de copa: en este último sistema un jugador o equipo queda eliminado con sólo perder un encuentro, mientras que en la liga estos errores se compensan mediante la suma de puntuaciones.

Para ilustrar este sentimiento intuitivo, se ha elegido un campeonato imaginario con 16 equipos de categorías descendientes, de tal modo que la probabilidad de que el equipo i-ésimo en fuerza gane al equipo j-ésimo sea p_ij = 1 – α(i-j). Por ejemplo, si α = 0,05, la probabilidad de que el equipo más fuerte gane al segundo es p₁₂ = 0,55, la de que el tercero gane al quinto es p₃₅ = 0,60, etc.

Simulando informáticamente y de forma aleatoria 1000 ligas, se obtiene que los resultados guardan estrecha relación con el valor de α. Claro es que cuando α = 0, la probabilidad de ganar la liga es la misma para todos los equipos: P_i = 1/16. Pero este valor varía rápidamente con α, de una forma parecida a la lineal. De modo que cuando α = 0,03, la probabilidad del equipo más potente para ganar la liga se acerca a P₁ = 0,40. La del segundo equipo está en torno a P₂ = 0,20, y ya en el tercero se observa que, a partir de un determinado punto, su probabilidad disminuye en beneficio de sus poderosos antecesores.

Hay que hacer notar que, en este ensayo, se ha supuesto que un encuentro no puede terminar en empate y también se han considerado nulas las ligas en cuyo resultado final se registra un empate a puntos. Por cierto, éstas son bastante abundantes: en torno al 35 % del total, cifra que varía poco con α.

Pasemos ahora a la simulación informática de otros 1000 campeonatos decididos por eliminatorias (copa), de forma que la forma de enfrentarse los equipos se decide también mediante sorteo aleatorio en cada caso. También el resultado es, como era de esperar, P_i = 1/16 cuando α = 0, pero el aumento de probabilidad para cualquier equipo no es tan rápido ni mucho menos. Cuando α = 0,03, la probabilidad para el equipo más potente es P₁ = 0,22, para el segundo, P₂ = 0,17, y así sucesivamente.

Hagamos notar que, para α = 0, todas las curvas deberían arrancar de P = 1/16 = 0,0625. No es así por las esperables fluctuaciones estadísticas propias del método de Monte-Carlo utilizado.

Pueden efectuarse ensayos para distinto número de equipos e incluso para distintas distribuciones de probabilidad. El resultado siempre confirma unas diferencia ciertamente importantes entre los dos sistemas.

JMAiO, jun 95

UNA CODA AL PROBLEMA DE LIGAS Y ELIMINATORIAS

Existen otros sistemas para determinar el vencedor de una competición. Uno de ellos es utilizado en los torneos de frontón. Dados n jugadores, se sortea un orden para éstos. El 1 juega con el 2. El perdedor se coloca a la cola, después del n, y el ganador juega con el 3. Y así sucesivamente.

El que consigue vencer de forma seguida a todos los n-1 contrincantes gana el torneo.

Propongo que algún lector de [C] haga por ordenador una simulación similar a las anteriores para ver cómo influye este sistema en la determinación del campeón.

JMAiO, sep 95