número de objetos	2^4	2^3	2^2	2^1	2^0	ganador
1	*					1
2	* *				1	0	primero
3	* * *				1	1	segundo
4	* * * *			1	0	0	primero
5	* * * * *			1	0	1	primero
6	* * * * * *			1	1	0	primero
7	* * * * * * *			1	1	1	segundo
8	* * * * * * * *		1	0	0	0	primero
9	* * * * * * * * *		1	0	0	1	primero
10	* * * * * * * * * *		1	0	1	0	primero
11	* * * * * * * * * * *		1	0	1	1	segundo
12	* * * * * * * * * * * *		1	1	0	0	primero
13	* * * * * * * * * * * * *		1	1	0	1	primero
14	* * * * * * * * * * * * * *		1	1	1	0	primero
15	* * * * * * * * * * * * * * *		1	1	1	1	segundo
16	* * * * * * * * * * * * * * * *	1	0	0	0	0	primero
17	* * * * * * * * * * * * * * * * *	1	0	0	0	1	primero

EL JUEGO DE LOS OBJETOS APILADOS

Este juego consiste en lo siguiente. Cierto número de objetos se disponen en k filas de manera que en la fila n haya n objetos, tal como se aprecia en la figura. El primer jugador puede eliminar el número de objetos que quiera siempre que estos sean de una misma fila; lo mismo puede hacer el segundo jugador. Pierde el juego aquel que elimina el último objeto.

El Ingeniero de Caminos Manuel Leirós me propuso este problema en un encuentro en la estación termal de Luso (Portugal) en el 2003; recuerda que apareció en una revista de su Escuela y cree que se publicó antes en un libro de principios del S. XX.

Para exponer la estrategia ganadora, confeccionamos el siguiente cuadro, en el que a la derecha de la columna de objetos y bajo las columnas encabezadas con las potencias de 2 escribiremos, en base de numeración 2, el número de objetos de cada fila.

Supongamos que k = 7, es decir, iniciamos el juego con 7 filas de objetos. Llamaremos columnas con paridad a aquellas encabezadas por las potencias de 2, que contengan un número par de unos, (en este caso de k = 7 todas las columnas tienen paridad).

La estrategia ganadora consiste en eliminar objetos de manera que las columnas encabezadas por las potencias de 2 mantengan la paridad. En efecto, si procedemos siempre así, el jugador que mantiene la paridad puede llegar a la situación de k = 3, en que se comprueba fácilmente que resulta ganador.

Un hecho importante es que si un jugador rompe la paridad, el otro puede siempre restablecerla y por consiguiente ganar.

En la última columna del cuadro, ganador, se indica el jugador que ganará si aplica la estrategia mencionada. Por ejemplo, si el juego se inicia con k = 12 filas, ganará el primer jugador, si se inicia con k = 11 ganará el segundo.

Aristogeronte.

Madrid, sep. 2004.