EL JUEGO DEL HEX...

Y ALGO SOBRE DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS

El juego del Hex fue inventado por el matemático-lúdico danés Piet Hein en 1942. Se juega en un tablero rómbico formado por celdillas hexagonales dispuestas como en la figura. Se considera cada par de lados opuestos como pertenecientes a cada jugador; las celdas de las esquinas son comunes. En los casos más corrientes, el lado del rombo tiene alrededor de 11 celdas.

Los dos jugadores están provistos de una serie de fichas blancas y negras, respectivamente, y cada uno de ellos, por turno, coloca una de ellas en una celda vacía. Sale el blanco.

El objetivo es completar una cadena continua que una sus dos lados (al estilo de la de la figura, que conecta los negros); el primero en conseguirlo gana.

Observemos que el juego es finito, y no puede terminar en tablas, pues sólo puede impedirse al contrario que complete su cadena construyendo una propia.

Es fácil el análisis de la estrategia para Hexes de un número corto de casillas. Para el H(2) la victoria del blanco es inmediata. También para H(3), jugando éste en la casilla central. Para H(4) gana igualmente el mano jugando en una de las cuatro casillas vecinas a la central. Y puede aún demostrarse que gana también para H(5) saliendo igualmente en la misma casilla central.

Sin embargo, para valores superiores del lado la estrategia no está tan clara. Desde luego, para n=11 no ha podido diseñarse ninguna, ni siquiera con medios informáticos. Las sutilezas, celadas y contraceladas son tan abundantes que resulta imposible su estudio sistematizado.

Sin embargo John Nash, un estudioso del Hex, elaboró en 1949 una prueba de que existe una estrategia ganadora para las blancas en cualquier caso. Éstas son las líneas maestras de la prueba:

1. Uno u otro debe ganar; luego existe una estrategia para uno de ellos (la demostración de este aserto, bastante plausible, se realiza con todo rigor en teoría de juegos).

2. Supongamos que es el negro quien tiene esa estrategia. Entonces el blanco puede adoptar esta otra: sale con cualquier jugada, y tras la preceptiva del negro, asume el papel de éste, jugando lo que debería ser primera jugada de la estrategia ganadora del negro. Y así sucesivamente (si en algún momento su jugada debiera ser la que hizo en primer lugar, hace una segunda arbitraria).

2.

3. Es decir, que el primer jugador pasa a asumir el papel del segundo, siempre con una pieza extra en el tablero. Luego, el blanco acaba ganando, lo que se contradice con la asunción de que el negro tenía una estrategia ganadora.

4. Luego es falso que exista una estrategia ganadora para el negro: debe haberla pues para el blanco.

¿Qué tal esa demostración? ¿Le ha convencido? Pues la verdad es que a mí no, y para demostrar su falacia voy a poner un contraejemplo, basado en un juego ridículamente sencillo, al que llamaré "de los cuatro peones".

REGLAS DEL JUEGO DE LOS CUATRO PEONES.

Se juega sobre las columnas TR y CR de un tablero de ajedrez. Cada jugador dispone de dos peones, que coloca en su primera fila (blancos en f1, g1; negros en f8, g8). Cada jugador puede avanzar uno cualquiera de sus peones cuantos pasos desee hacia delante o atrás, sin saltar sobre el adversario. Pierde el primero que se ve incapaz de mover.

La estrategia ganadora para el negro es muy sencilla: jugar "simétricamente" al contrario, menteniendo entre sus peones y los del adversario las distancias mínimas. He aquí una posible partida ganada por ese procedimiento:

B N

1. f3 g6

2. f2 f7

3. f6 g3 y ganan negras

Este juego cumple con los requisitos iniciales del hex: es finito y no puede terminar en tablas. Luego debería existir una estrategia ganadora para las blancas, y ocurre lo contrario. ¿Por qué?

Observemos que el blanco jamás puede llevar a cabo su maquiavélico plan de usurpar su papel al negro. Pues la segunda jugada del blanco debería ser precisamente la que él ya hizo en primer lugar, y la tercera debería ser su segunda, etc. Por tanto, aguardando el momento de aplicar su estrategia ganadora, acaba perdiendo antes.

¿Ocurrirá lo mismo en el hex? A ver quién lo estudia.

Josep M. Albaigès

Barcelona, enero 1989