GANAR CON VENTAJA DE DOS PUNTOS

En determinados juegos no basta para ganar sumar más puntos que el adversario, sino que es necesario superar a éste en dos o más. Caso típico es el tenis, donde esta regla da lugar a veces a partidos interminables.

¿Cómo quedan afectadas las probabilidades de victoria por esta regla? Vamos a examinarlo. Supongamos primero dos jugadores A y B, con probabilidades respectivas de ganar p y q, y que parten de una situación de empate inicial con la condición de que el vancedor debe ganar al adversario por una ventaja de dos puntos.

Examinemos lo que puede ocurrir en los dos primeros juegos:

CASO	RESULTADO PARCIAL	Probabilidad	Situación tras los dos juegos
1 2 3 4	Gana A + Gana A Gana A + Gana B Gana B + Gana A Gana B + Gana B	p^2 pq qp q^2	Victoria de A Como al principio Como al principio Victoria de B

Si es x la probabilidad de que gane A, ésta se descompondrá así:

x = p² + 2pqx

De donde se obtiene fácilmente:

El resultado neto de la regla es que ésta amplía las probabilidades del mejor jugador y reduce las del peor, como puede verse en esta gráfica:

Pasemos ya a estudiar el juego de tenis, con la habitual regla de que gana el set quien gana seis partidos, con una ventaja mínima de 2. Examinemos antes qué ocurriría sin la regla de los dos de ventaja, es decir, si bastara con ganar por ventaja simple. Llamamos p_A, p_E y p_B, respectivamente, a las probabilidades de victoria de A, de empate y de victoria de B, con los mismos valores p y q = 1 - p de antes para cada juego individual. Podemos imaginar que se juegan en total 12 juegos (algunos de los cuales pueden no ser necesarios en la práctica), y que gana el set quien gana la mayoría de ellos en el cómputo final, quedando una posibilidad de empate cuando cada jugador gana 6. Es fácil entonces obtener las siguientes fórmulas:

El caso de empate puede resolverse fácilmente jugando una partida adicional, cuya victoria será la del set. O sea, que las probabilidades respectivas son:

p’_A = p_A + p p_E

p’_B = p_B + (1-p)p_E

Pero la cosa se complica si se exige la regla de los dos puntos de ventaja. Pues entonces, si se alcanzan los tanteos 5-6, 6-6 ó 6-5 pueden darse estas posibilidades:

Tanteo	Gana el siguiente juego:	Resultado:
5-6	A B	Empate. B gana el set.
6-6		Empate.
6-5	A B	A gana el set. Empate.

Por tanto, la probabilidad de victoria de A será el resultado de componer las probabilidades correspondientes, que para el caso de empate será el valor x antes hallado. Finalmente se obtiene:

Con una expresión análoga para p”_B.

Desde luego, tiene interés comparar las dos formas de desempate según el método simple (p’_A) y el de los dos puntos de ventaje (p”_A) para ver las probabilidades de victoria en cada caso. Ésta es la gráfica:

Aunque el sistema de los dos puntos aumenta algo la probabilidad de victoria para el mejor jugador, no se trata ni mucho menos de una ventaja decisiva.

JMAiO, marzo 02