EL JUEGO DEL FRONTÓN

Los torneos de tipo liga o eliminatorias suelen tener siempre como efecto mejorar las probabilidades de los mejores jugadores y empeorar las de los peores. En el fondo, lo que se persigue con su organización es “filtrar” éstos con el fin de asegurar que el premio vaya al más destacado, aunque sea sólo muy ligeramente. En algunos casos esto puede hacerse con bastante fiabilidad (liga) al permitirse la corrección de errores ocasionales por parte de los jugadores, en otros casos el sistema es más estricto (eliminatorias a una sola vuelta), al castigarse un simple fallo con la eliminación.

Un tipo intermedio es el practicado en el juego del frontón, que es interesante comentar. La organización del torneo se realiza de la siguiente manera: los jugadores son formados en fila, usualmente por sorteo, y el primero juega contra el segundo. El perdedor se coloca en última posición (“a la cola”) y se repite el procedimiento. En el momento en que el jugador primero consigue vencerlos a todos de manera consecutiva, es proclamado el ganador del torneo.

Para fijar ideas, supongamos el caso de seis jugadores. Si todos tienen la misma fuerza, se intuye que la probabilidad de ganar para cada uno es 1/6, salvo un efecto de ventaja de salida.

Puede estudiarse el juego por el método de Montecarlo, obteniendo interesantes resultados.

Caso I. Estudio de la ventaja del jugador que tiene la salida. Supondremos que todos los jugadores son de igual fuerza, es decir, que la probabilidad de ganar cualquiera de ellos a cualquier otro es p = 1/n.

Desde luego, debe haber tres jugadores como mínimo (con dos, la probabilidad es p para ambos). En la presente tabla se aprecia claramente que la ventaja de salida es proporcionalmente tanto mayor cuantos menos jugadores hay. Así, por ejemplo, para n = 4, es p = ¼ = 0,25, pero el jugador mano mejora la probabilidad de ganar la partida hasta 0,31, mientras que el postre la ve rebajada a 0,21. Al aumentar el número de jugadores, la probabilidad de cada uno tiende asintóticamente a p.

JUEGO DEL FRONTÓN
Probabilidades para jugadores de igual fuerza
	n=3	n=4	n=5	n=6	n=7	n=8
k=1	0,44	0,31	0,24	0,183	0,153	0,131
k=2	0,30	0,25	0,20	0,168	0,145	0,125
k=3	0,26	0,23	0,19	0,165	0,145	0,123
k=4		0,21	0,19	0,164	0,145	0,124
k=5			0,18	0,162	0,145	0,125
k=6				0,159	0,139	0,125
k=7					0,139	0,123
k=8						0,124

Caso II. Estudio para el caso de un jugador con más fuerza. Se supone que todos los jugadores tienen la misma fuerza, excepto uno de ellos, que tiene la probabilidad p_f. Desde luego, la probabilidad de cada uno de los restantes es p’ = (1 – p_f)/(n-1).

Para no multiplicar las tablas, nos hemos limitado al gráfico siguiente, para 8 jugadores, donde n es el número de éstos y k es la posición que ocupa el jugador de mayor fuerza, con probabilidad p_f = 0,60.

Se aprecia la convergencia de la probabilidad de cada uno, al aumentar el número de jugadores, a los valores antes deducidos. Por ejemplo, si para tres jugadores el jugador fuerte ocupa la primera posición, la probabilidad de ganar la partida es 0,44. Este valor disminuye a 0,30 si ocupa la segunda posición y a 0,25 si ocupa la tercera.

JMAiO, BCN, 2004