LAS APUESTAS DEL CABALLERO DE MERÉ

 

Las leyes de la probabilidad tienen su origen en una consulta que un impenitente aficionado al juego, el caballero De Méré, hizo a Blaise Pascal hacia 1650. El jugador, aficionado a llevar un largo registro de los resultados de sus timbas, había observado que era ventajoso jugar a los dados tirando uno y apostando a la par que sacaría al menos un seis en cuatro tiradas. En cambio, le era desventajoso extender el juego echando dos dados y apostando a sacar al menos un doble seis en veinticuatro tiradas. Sin embargo, él razonaba que siendo las proporciones entre el número de seises a obtener y las tiradas las mismas, la probabilidad debería ser también la misma.

Pascal estudió a fondo el tema, concluyendo que los resultados obtenidos por De Méré se ajustaban a la previsones del cálculo de probabilidades. Pues, en efecto, la probabilidad de no obtener un seis en una tirada es 5/6, por la que la de no obtener ninguno en seis tiradas valdrá, por la ley de los productos de la probabilidades:

 

                          p = (5/6)6

 

Y por tanto la probabilidad complementaria (obtener al menos uno) vale:

 

                          q = 1 - (5/6)6 = 0,5177

 

En cambio, si pasamos a los dos dados, un razonamiento análogo lleva a:

 

                          q’ = 1 - (35/36)24 = 0,4914

 

¡Las leyes se cumplían exactamente, para incomodidad del caballero! Nosotros podemos ir un poco más allá y estudiar el juego para n dados, suponiendo que se hacen (2/3)·6n ensayos para obtener al menos n seises simultáneos. Hallamos los valores:

 

                          1          0,5177

                          2          0,4914

                          3          0,4874

                          4          0,4867

 

Un resultado algo más afinado muestra que, en el límite, la sucesión converge hacia 1 - e-2/3 = 0,486583…

Podía haberse estudiado una forma de que el juego fuera realmente equitativo: bastaba con conceder al caballero más tiradas, según la relación:

 

                          t = 6n ln 2 = 0,6931·6n

 

Como vemos, el factor que multiplica el número de tiradas es ligeramente superior a 2/3. Solamente en los primeros términos de la sucesión dicho factor se mantiene por debajo de 2/3. Ya en el caso de 24 tiradas con dos dados, conceder 25 tiradas a De Méré hubiera casi igualado la probabilidades, pues:

 

                          q = 1 -(5/6)25 = 0,5055

 

JMAiO, jun 97