VARIACIONES SOBRE FERMAT
(“OBSTINATO”)
In memoriam Pr. Coppelius
(
Me informan que acaba de fallecer el profesor Coppelius, matemático y economista excéntrico, biznieto, según dicen del famoso doctor inmortalizado por Léo Delibes. Al parecer se ha suicidado por el método de ingerir dosis masivas de colesterol en un afamado restaurante, como remedio a su depresión ante el crack bursátil, que no solo le ha supuesto muy serias pérdidas, sino que amenazaba con acabar con su prestigio, ya que estaba punto de aparecer un artículo firmado por él, en colaboración con el anterior Secretario del Tesoro norteamericano, con el que trabajó estrechamente, en el que, en base a una personal interpretación de la teoría de juegos de suma cero, se probaba matemáticamente la imposibilidad de una crisis financiera a nivel mundial.
No hay que decir que Coppelius era, matemáticamente hablando, económicamente hablando, y hablando de otras muchas formas, un tanto heterodoxo. Desgraciadamente no recuerdo bien su atrevido razonamiento con el que pretendía demostrar la inexistencia de los números primos. Creo que partía de una serie de definiciones, prima facie rigurosas e inatacables, de número primo y número compuesto, que le llevaban a desechar al dos como perteneciente a la primera categoría, a fin de que su definición fuese consistente. Seguidamente mediante un ingenioso recurso al método de regresión ad infinitum, concluía en la imposibilidad de que ningún número fuese primo en el sentido de su definición. No podemos encontrar una fórmula general de estos números porque simplemente no tienen existencia real, remataba. Estaba convencido de la existencia de un profundo equivoco en los fundamentos de la lógica y de las matemáticas del que los resultados obtenidos por Gödel no serían sino la punta de iceberg.
Si recuerdo mejor su lección magistral por la que, a raíz de la demostración de A. Wiles del Teorema de Fermat, sostenía que todo era un enorme equívoco y que en realidad el dichoso teorema o conjetura estrictamente era falso. Más o menos venía a decir lo siguiente.
Lo que pretende demostrase es que la ecuación:
Xn + Yn = Zn (1) ,
no tiene soluciones para X; Y; Z, enteros.
Pero tal cosa, sostenía Coppelius, no es estrictamente cierta; o para ser exactos lo sería a lo sumo para valores de n enteros. Incluso demostraba de manera elemental que también sería cierto Fermat para valores de n enteros negativos, ya que suponer, por ejemplo, que existen soluciones enteras para:
X-3 + Y-3 = Z-3 (2), es tanto como dar soluciones enteras a la ecuación:
(Y.Z)
3 + (X.Z)3 = (X.Y)3 (3)
Ahora bien, sostenía Coppelius, la ecuación (1) SI tiene soluciones enteras en X, Y, Z, para ciertos valores de n, de la forma 1/m, o lo que es lo mismo, la ecuación de Fermat así concebida, Xn + Yn = Zn, tiene soluciones enteras para valores del exponente fraccionarios de la forma 1/m, siendo m entero, positivo o negativo. Y no solo tiene soluciones, sino que éstas son infinitas y sencillísimas de hallar.
Acto seguido daba una larga serie de ternas de X, Y, Z para los que se cumplía la ecuación (1) para valores apropiados del exponente de la forma 1/m.
A raíz del la noticia del fallecimiento del injustamente tratado profesor, he vuelto a dar vueltas a sus ideas sobre Fermat y he podido comprobar su total corrección, encontrando, entre otras, soluciones tales como:
(375)1/3 = (24)1/3 + (81)
1/3 (4)
(1.296) –1/4 = (10.000)-1/4 + (50.625)-1/4 (5)
(Q. E. D.)
Me he convencido que, como acertadamente señaló el añorado Coppelius, es la cosa más sencilla del mundo encontrar soluciones a medida para la ecuación de Fermat con exponentes de la forma 1/m, para cualquier valor entero de m.
El problema es, precisamente, que las soluciones de Coppelius tienen un pequeño problema, que espero no sea síntoma del derrumbe del edificio matemático, que vaticinaba. Son en efecto soluciones triviales, demasiado triviales a mi modo de ver. Por ejemplo, la solución (4) puede transformarse en: (53∙3)1/3 = (23∙3)1/3 + (33∙3)1/3, que una vez eliminados términos comunes, da el nada sorprendente resultado: 5 = 2 + 3, cosa que según parece era ya conocida por la cultura de Neandertal e incluso por sus ancestros de Atapuerca.
También la solución (5), de aspecto más formidable, puede reducirse a una expresión, casi igual de trivial, tal como: 1/2 + 1/3 + 5/6, que podrá discutirse si era o no conocida por el hombre de Neandertal, pero que tampoco es de temer ponga en riesgo los fundamentos de la matemática, ni deba preocupar a Andew Wiles.
El caso es que yo no he encontrado otras soluciones distintas de las de este tipo, es decir soluciones triviales que reducidas y simplificadas dan por resultado una simple igualdad de enteros o de fracciones, en la que desaparecen todas las potencias y radicales. Eso sí tantas como se quieran.
En realidad - como el agudo lector no habrá dejado de intuir sin necesidad de conocer las teorías del profesor Coppelius - las soluciones del tipo (4) y (5), han sido “construidas” a la inversa a partir de las igualdades numéricas triviales, con unas matemáticas de una EGB medianamente aprovechada.
Y esta es justamente la cuestión: ¿Existen otras soluciones, no triviales, a las ecuaciones de Fermat (1) para exponentes del tipo 1/m?
Y ya puestos a ello podríamos preguntarnos si existirán soluciones a la ecuación de Fermat para exponentes, positivo o negativos, de la forma n/m, ó –n/m, para n y m enteros, primos entre sí y distintos de la unidad.
Xn/m + Yn/m
= Zn/m ó X-n/m + Y-n/m = Z-n/m
¿Tienen soluciones enteras para X, Y, Z, no triviales?
Seguro que esto ya ha sido resuelto, pero la verdad es que no lo encuentro. Dada la ausencia del llorado profesor Coppelius, al que ya no podré recurrir, hago un llamamiento los lectores y amigos de Carrollia para ver si se les ocurre algo, enviándoles a todos un afectuosísimo y entrañable abrazo.
José Antonio de Echagüe