LAS DEMOSTRACIONES DE PERVERSUS
 

 

 

 

TODOS LOS NÚMEROS SON IGUALES

 

Sean dos números distintos p, q. Eso es tanto como decir que

 

p - q = d ¹ 0

 

Multipliquemos ambos miembros por (p-q):

 

              (p - q)2 = (p - q) d

p2 - pq - qp + q2 = pd - qd

 

Trasponiendo:

 

       p2 - pq - pd = qp - q2 - qd

 

Sacando factor común:

 

       p(p - q - d) = q(p - q - d)

 

Y al ser iguales los factores entre paréntesis:

 

                      p = q

 

Luego, dos números cualesquiera distintos son iguales, c. q. d.

 

                                                                           Perversus

 

 

TODOS LOS NÚMEROS SON IGUALES (DISCUSIÓN)

 

El error en el razonamiento está en el último paso, que equivale a dividir ambos miembros por p - q - d. Pero este término vale cero, por definición, y no se puede dividir por cero.

 

                                                                           Perversus

LAS DEMOSTRACIONES DE PERVERSUS
 
 

 


TODOS LOS NÚMEROS SON IGUALES-II

 

Otras forma de demostrar lo anterior. Sean dos números distintos p, q. Sea su suma:

 
 
 


p + q = s

 

Multipliquemos ambos miembros por (p-q):

 

            (p+ q) (p - q) = (p - q)s

                  p2 - q2 = ps - qs

 

Trasponiendo:

 

                p2 – ps = q2 - qs

 

Sumemos ahora a cada miembro de la igualdad s2/4:

 

         p2-ps+s2/4 = q2-qs+s2/4

 

Sacando factor común:

 

               (p - s/2)2 = (q - s/2)2

 

Extraigamos la raíz cuadrada:

 

                   p – s/2 = q - s/2

 

De donde, inmediatamente,

 

                           p = q

 

Luego, dos números cualesquiera distintos son iguales, c. q. d.

 

                                                                           Perversus

 

 

TODOS LOS NÚMEROS SON IGUALES-II (DISCUSIÓN)

 

El error en el razonamiento está en el último paso, pues al extraer una raíz cuadrada debe tnerse en cuenta el signo más-menos.

 

 

                                                                           Perversus

 

LAS DEMOSTRACIONES DE PERVERSUS
 

 

 

4=5

 

Se trata de un caso clásico, particular del anterior. Partamos de la evidente igualdad -20 = -20 y escribámosla de otras formas:

 

-20 = -20

16 - 36 = 25 - 45

42 - 2·4·9/2 = 52 - 2·5·9/2

 

Sumando a ambos términos (9/2)2:

 

42 - 2·4·9/2 + (9/2)2 = 52 - 2·5·9/2 + (9/2)2

 

Que podemos resumir:

 

[4 - (9/2)]2 = [5 - (9/2)]2

 

Extrayendo la raíz cuadrada:

 

4 - 9/2 = 5 - 9/2

 

En fin, simplificando:

 

4 = 5

 

                                                                                              Perversus

 

 

4 = 5 (DISCUSIÓN)

 

La igualdad [4 - (9/2)]2 = [5 - (9/2)]2 equivale a  (-½)2 = (½)2, lo que no significa que -½ = ½. La raíz cuadrada es una operación biforme, que puede tener dos resultados, distintos por el signo. En rigor, debería escribirse, al extraer la raíz cuadrada:

 

-½ = ±(½)

 

Y seguidamente desechar la solución extraña introducida, con lo que quedaría ½ = ½.

 

 

                                                                                              Perversus

LAS DEMOSTRACIONES DE PERVERSUS
 
 

 


TODOS LOS TRIÁNGULOS SON ISÓSCELES

 

Sea el triángulo ABC de la figura, que por definición no es isósceles. Tracemos CN, bisectriz del ángulo C, y MN, mediatriz del lado AB. Puesto que el triángulo no es isósceles, ambas líneas no serán paralelas, y se cortarán en un punto N.

Bajemos desde N las perpendiculares NP y NQ a CB y CA, respectivamente. Será NP = NQ, por pertenecer N a la bisectriz de C.

Por otra parte, se cumple también NA = NB, por pertenecer N a la mediatriz de AB.

Por tanto, los triángulos rectángulos NPB y NQA son iguales al tener un cateto y la hipotenusa iguales. Por consiguiente, ÐNAQ = ÐNBP. Al añadir a estos ángulos los ángulos iguales NAB y NBA (por ser también  iguales los triángulos MNA y MBA), se obtiene finalmente que ÐCAB =ÐCBA, es decir, el triángulo ABC es isósceles.

Corolario extra: Todos los triángulos son equiláteros.

 

                                                                                              Perversus

 

 

TODOS LOS TRIÁNGULOS SON ISÓSCELES (DISCUSIÓN)

 

 

Recordemos la propiedad de la bisectriz: BM’/BC = AM’/AC. Es decir, que la intersección de ésta con la base queda entre el punto medio y el vértice correspondiente al lado más corto. En una palabra, el punto de intersección M cae fuera del triángulo ABC, y uno de los triangulitos fabricados posteriormente quedará montado por fuera del triángulo, en la  prolongación del lado. Esto invalida todo el razonamiento.

 

                                                                                              Perversus

 

LAS DEMOSTRACIONES DE PERVERSUS
 

 

 

¡EL QUINTO POSTULADO DE EUCLIDES, DEMOSTRADO AL FIN!

 

Tomemos la recta AB y un punto C fuera de ésta. Vamos a demostrar que por C puede trazarse una única paralela a AB, sin apoyarnos implícitamente en la demostración, como solía ser el caso de tanto intentos fallidos realizados a lo largo del tiempo.

Para ello nos apoyaremos en un postulado anterior al quinto: siempre puede bajarse una única perpendicular a una recta desde un punto cualquiera. Bajemos la perpendicular CD desde el punto C a la recta AB. A dicha perpendicular levantamos a su vez, en el punto C, la perpendicular CE. Esta última será precisamente paralela a la recta AB en virtud del conocido teorema de las dos perpendiculares a una recta (es legítimo citarlo, puesto que se demuestra antes del axioma del paralelismo).

Pero, como antes se ha dicho, ambas perpendiculares son únicas. Luego la recta obtenida CE es única.

 

                                                                                              Perversus

 

 

 ¡EL QUINTO POSTULADO DE EUCLIDES, DEMOSTRADO AL FIN! (DISCUSIÓN)

 

En el razonamiento se comete el error llamado ignoratio elenchi en lógica clásica, o sea “incomprensión de lo que se está demostrando”. Efectivamente, mediante la construcción citada obtenemos una única recta, pero, ¿es que el sistema de construcción de ésta es único?

No. Existen otros, por ejemplo el de la figura: en lugar de la base D  de la perpendicular CD podríamos tomar cualquier otro punto D’ en la recta AB, unirlo con C mediante la recta D’F y en el rayo CF construir el ángulo FCE’, igual al CD’B (y, además, de modo que los rayos CE’ y D’B se dispongan por el mismo lado de FD’). En virtud del teorema (demostrado antes que el axioma) del paralelismo de las rectas cuando son iguales los ángulos correspondientes, podemos afirmar que la recta CE’ es paralela a AB. Pero, ¿dónde está la garantía de que las rectas CE’ de las dos figuras construidas coinciden? Afirmar que diferentes construcciones diferentes llevaran a la misma recta significa tomar sin demostración aquello que tratábamos de demostrar.

 

                                                                                              Perversus

LAS DEMOSTRACIONES DE PERVERSUS
 
 

 


UNA NUEVA FÓRMULA PARA EL ÁREA DE LA ESFERA

 

Tomemos la semiesfera con centro en O, “polo” P y “ecuador” q. Dividamos este último en un gran número de partes iguales y unamos P con todos los puntos de división mediante sendos arcos de un cuadrante de longitud. La semiesfera quedará dividida en n triángulos esféricos muy estrechos, cada uno de ellos limitado por el arco pequeño del ecuador y por dos arcos de los meridianos (como el que se ha rayado, PAB). Al aumentar indefinidamente el número n de divisiones se pueden hacer estos triángulos esféricos tan estrechos como se quiera, por lo que el triángulo curvado puede desarrollarse en un plano, quedando invariables todas sus dimensiones.

La base de cada uno de estos triangulitos será 2pR/n, y la altura, el cuadrante rectificado, o sea pR/2 (véase el triángulo rayado a la izquierda). El área de este triángulo es p2R2/2n, y por consiguiente el área total de los triángulos elementales es  S = p2R2/2.

Así, pues, la antigua fórmula S = 4pR2 debe ser rechazada.

 

                                                                                              Perversus

 

 

UNA NUEVA FÓRMULA PARA EL ÁREA DE LA ESFERA (DISCUSIÓN)

¿De dónde sacamos que los triángulos elementales dibujados, al ser desarrollados, serán rectilíneos? En realidad serán curvilíneos, y su área deberá ser calculada no según la tradicional fórmula S = ½ bh, sino según una similar a la del área de un segmento parabólico, S = kbh, con k próximo a 2/3 (de hecho, exactamente, sería k = 2/p = 0,637). Al ser aplicada ésta, llegamos al valor tradicional. Tranquilos, pues.

 

                                                                                 

                                                                                              Perversus

 

LAS DEMOSTRACIONES DE PERVERSUS
 

 

 

LO QUE SALE DERIVANDO

 

Escribamos:

 

x2 = x ·x · x· x ·…… (x) …· x

 

Derivemos:

 

2x = 1 · 1 · 1 · 1· …… (x) …· 1 = x

 

Luego:

 

2x = x

 

2 = 1

 

                                                                                              Perversus

 

 

LO QUE SALE DERIVANDO  (DISCUSIÓN)

 

Confío en la indulgencia de mis lectores ante una demostración tan disparatada, que no tiene en cuenta ni definiciones de la operación producto, ni consideraciones sobre la continuidad. El ejemplo no merece mayores comentarios.

Sin embargo, de ahí podríamos extraer una pregunta: ¿Es definible la operación a la que podríamos “reiteración de una operación?. Sea la operación *, a*b = c. Podríamos llamar R^*(x) a la operación:

 

R^*(x) = x*x*x*…..(x)….x

 

La definición de la operación “derivada” ofrece importantes dificultades teóricas, que hay que resolver en cada caso particular.

 

                                                                                              Perversus

LAS DEMOSTRACIONES DE PERVERSUS
 
 

 


TODOS LOS ÁNGULOS SON RECTOS

 

Construyamos el cuadrilátero ABDC de forma que AC=BD, pero ÐCAB¹ÐABD. El cuadrilátero no es un paralelogramo, de forma que las mediatrices a los lados AB y BC no serán paralelas y se interesecarán en un punto N, interior o exterior al cuadrilátero.

 

 

 

 

Sea cual sea el caso, este punto con A, B, C, D. Se cumple:

AN = BN (pues N pertenece a la mediatriz de AB).

CN = DN (pues N pertenece a la mediatriz de CD).

Por tanto, los triángulos rayados ACN y BDN son iguales, al tener iguales sus tres lados. Luego se dan estas igualdades entre ángulos:

ÐNAB = ÐNBA (por pertenecer a la mediatriz)

ÐCAN = ÐDBN (por pertenecer al triángulo rayado)

Por tanto, será ÐCAB = ÐDBA (suma de los anteriores). Análogamente, ÐACD = ÐBDC. Por tanto, el cuadrilátero es un rectángulo, contra lo supuesto.

Observemos que es indiferente que el punto de intersección esté en el interior o en el exterior del cuadrilátero.

 

                                                                                              Perversus

 

TODOS LOS ÁNGULOS SON RECTOS (DISCUSIÓN)

Ha faltado por considerar un caso: ¿Qué ocurre cuando uno de os triángulos rayados queda montado por dentro y el otro por fuera de su respectivo lado del cuadrilátero? Pues esto es lo que ocurre siempre, impidiendo que se cumpla la estupenda igualdad anterior.

 

 

                                               Perversus

LAS DEMOSTRACIONES DE PERVERSUS
 

 

 

EL ÁREA ES UN VALOR RELATIVO

 

Descompongamos el cuadrado de la figura, de lado 8, en dos rectángulos de las dimensiones indicadas, y éstos a su vez en dos trapecios y dos triángulos, respectivamente. Recombinemos estas figuras para formar el rectángulo de la figura contigua, donde puede observarse que se repiten las longitudes del primero.

 

 

El área del cuadrado inicial es S = 82 = 64, mientras que la del rectángulo resultante es S’ = 5·15 = 65. ¿De dónde ha salido esta unidad extra de área?

 

                                                                                              Perversus

 

EL ÁREA ES UN VALOR RELATIVO (DISCUSIÓN)

 

En realidad, el rectángulo final tiene una “rendija” interior, que representamos exageradamente en la figura. En efecto, la pendiente media de su diagonal es 5/13 = 0,385,  mientras que las de las piezas componentes son, respectivamente, 3/8= 0,375, y 2/4 = 0,400.

 

 

Es posible construir rectángulos similares, cada vez más indetectables, aprovechando la propiedad de los números de la serie de Fibonacci: 1, 2, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…, que entre tres términos consecutivos cumple un2 = un-1un+1 ± 1

 

                                                                                              Perversus

 

 

 

 

 

LAS DEMOSTRACIONES DE PERVERSUS
 

 

 

TODO RECTÁNGULO INSCRITO EN UN CUADRADO ES TAMBIÉN UN CUADRADO

 

Sea el cuadrado ABCD, en el que inscribimos el rectángulo MNPQ. Bajemos desde P y Q las perpendiculares a los lados opuestos del cuadrado, y construyamos los triángulos PMR y QNS. Éstos serán iguales, pues:

PR = QS (lado del cuadrado)

PM = QN (son las diagonales del rectángulo MNPQ)

Los Ð QSN y MRP son rectos (por definición).

Luego, ÐPMR = ÐQNS, y por tanto ÐOMR + ÐONB suman dos rectos. Pero ÐMBN es también recto por definición, conque debe serlo también ÐMON. Reiterando el procedimiento a los otros tres lados interiores del rectángulo inscrito, se concluye que éste es un cuadrado.

 

                                                                                              Perversus

 

 

TODO RECTÁNGULO INSCRITO EN UN CUADRADO ES TAMBIÉN UN CUADRADO (DISCUSIÓN)

 

Claro es que puede construirse un rectángulo inscrito en un cuadrado que no sea otro cuadrado. Basta con ver el de la figura, en que sus lados son paralelos a los del cuadrado. El error del razonamiento consiste en suponer que las perpendiculares MR y SN yacen de la manera indicada (hacia el mismo lado de la diagonal), cuando en realidad lo hacen de la de la figura.

 

                                                          

 

                                                                                              Perversus

LAS DEMOSTRACIONES DE PERVERSUS
 
 

 


DOS RECTAS CONVERGENTES NO SE CORTAN

 

Sean las rectas BP, perpendicular a AB, y AQ, trazada de forma que ÐQAB sea menor que un recto. Traslademos sobre AQ y BQ, respectivamente, las distancias iguales AA1 = BB1 = AB/2. Estos segmentos no pueden cortarse, pues si lo hicieran en un punto K, se tendría un triángulo AKB en el que los lados AK+BK serían menores o iguales que AB.

Repitamos el proceso con los segmentos A1A2 = B1B2 = A1B1/2, y apliquémosle el mismo razonamiento. Procediendo indefinidamente, llegaremos aun proceso sin fin, pues éste sólo terminaría si llegaran a coincidir An con Bn.

Por tanto, las convergentes no se cortan.

 

                                                                                                                                                                                Perversus

 

 

DOS RECTAS CONVERGENTES NO SE CORTAN (DISCUSIÓN)

 

Este sofisma fue planteado por primera vez por el matemático griego Proclo, y es más sutil de lo que parece. Pues algunos se han sentido tentados a creer que el proceso es del tipo “Aquiles y la tortuga” (decrecimiento geométrico de los segmentos). Pero la falacia reside en realidad en la suposición implícita de que el segmento AnAn+1 debe cortarse precisamente con el BnBn+1. ¿Por qué? En la figura vemos que los que realmente se cortan son el A3A4 con el B1 B2.

 

                                                                                             

 

                                                                                              Perversus