Dos trascendentes conjeturas, próximos teoremas

La conjetura de Poincaré

En C-67 Miguel Ángel Lerma exponía los siete problemas que el Instituto Clay presentó el año 2000 como retos matemáticos para el siglo XXI, para cada uno de los cuales dicha entidad ofrecía un millón de dólares como premio. Entre tales problemas figura un aserto establecido como hipótesis hace cien años por Henri Poincaré. Repetimos aquí la descripción de M. A. Lerma:

«Imaginemos que consideramos equivalentes dos objetos cuando es posible deformar continuamente (sin pegar ni cortar) uno de ellos hasta formar el otro. Por ejemplo un balón de rugby será equivalente a un balón de fútbol, y una taza con un asa es equivalente a una rosquilla. Sin embargo una rosquilla no es equivalente a un balón, la rosquilla no se puede deformar continuamente hasta formar un balón, porque la rosquilla tiene un agujero y necesitamos cortarlo para hacerlo desaparecer.

En este sentido una superficie esférica se puede caracterizar como una superficie cerrada sobre sí misma y sin agujeros. La conjetura de Poincaré dice que no es posible establecer una caracterización similar para hipersuperficies esféricas de dimensiones superiores. Dicha conjetura ha sido demostrada para todas las dimensiones mayores que 3 (y por supuesto para dimensiones 1 y 2), pero continúa abierta en dimensión 3.»

Si usted, lector, no es topólogo, no espere comprender del todo este asunto. Los topólogos son unas personas singulares, tanto que se dice de ellos que en su abstracción son incapaces de distinguir si lo que le ofrecemos es una taza de té o un dónut. Aclaremos que la esfera de 3 dimensiones a la que alude la conjetura de Poincaré no es nuestra familiar esfera, pues nuestras habituales esferas son variedades topológicas bidimensionales: basta con dos valores numéricos, latitud y longitud por ejemplo, para determinar la posición de un punto en la misma. Las variedades esféricas tridimensionales son hipersuperficies en un espacio de 4 dimensiones, en el cual podemos decir que se tiene una 4-bola cuya frontera es una 3-esfera. La conjetura de Poincaré, de hecho el creador de la topología algebraica, viene a decir que la 3-esfera es la única 3-variedad compacta de tipo simple, y si tiene tanta importancia es porque su demostración es crítica para la clasificación completa de las 3-variedades posibles (geometrización de W. P. Thurston).

Pues bien, la comunidad matemática está de acuerdo en que el matemático ruso Grigori Perelman ha conseguido demostrar la conjetura de Poincaré, a la vez que completar el programa de catalogación de las configuraciones posibles de un espacio tridimensional (la componente espacial de nuestro espacio físico, por cierto). Perelman publicó en noviembre de 2002 un artículo sobre este asunto en un servidor especializado de la red. En marzo de 2003 presentó un segundo artículo, y de abril a mayo de ese año visitó Estados Unidos exponiendo sus resultados. Éstos han de publicarse y pasar la criba de dos años de examen para aspirar al premio Clay, pero son muchos los que dan por hecho que pasarán el escrutinio de los correspondientes ‘referees’.

La conjetura de Pérez Parra

Esta conjetura, expuesta hace más de treinta años por J. S. Pérez Parra, afirma que el número máximo manejable sin ambigüedades en el cálculo es un valor cercano a mil (el «milientas», tal como fue bautizado por su autor). Nos apresuramos a aclarar que no se trata de una afirmación matemática: su ámbito de aplicación está en la práctica del manejo eficaz de los conjuntos compuestos por elementos materiales. Se trata de un aserto que pertenece más al mundo de la biología que al de la matemática, aunque la demostración se ha conseguido finalmente a través del razonamiento matemático. Diremos que esta conjetura viene a recordar el principio de indeterminación de Heisenberg de la física, ya que el límite establecido por Pérez Parra es de tipo estadístico, y posee por tanto una característica experimental de «borrosidad». De hecho, la demostración de la conjetura prueba que se trata del extremo correspondiente a 2 σ (la desviación tipo) de una distribución gaussiana.

Aunque ignorada durante mucho tiempo, probablemente por la escasa atención que merecen las publicaciones españolas más allá de nuestras fronteras, la referida conjetura atrajo a finales del siglo pasado la atención del equipo científico del departamento de biología matemática del Instituto Fraunhofer de la universidad alemana de Erlangen (el mismo que desarrolló en 1987 el formato de archivos de sonido digitalizado mp3). Estos científicos han demostrado la conjetura Pérez Parra apoyándose como lema en uno de los corolarios de la teoría de autómatas celulares de von Neuman, según el cual «un autómata celular (en particular cualquier ser viviente) tiene una capacidad límite para la operativa eficaz de conjuntos de elementos materiales cifrada en 2^L, siendo L el número intrínseco de grados de libertad del material genético (en sentido amplio) del autómata.»

Por operativa eficaz se entiende el límite alrededor del cual se concentran en la práctica los errores experimentales en el manejo real de los conjuntos materiales. Se trata como hemos dicho de un concepto estadístico. En cuanto al número intrínseco de grados de libertad de un ser humano considerado desde el punto de vista de la teoría de autómatas, tenemos los 4 elementos básicos del genoma (adenina, timina, guanina y citosina), que han de ser multiplicados por 3 para dar cuenta de las diversas simetrías espaciales posibles (en la demostración intervienen los grupos abelianos conmutativos), de lo que resulta L = 12. Así pues, el durante tanto tiempo mítico milientas ha resultado ser igual a 1024, muy cercano al valor en su momento conjeturado.

De ser cierta esta conjetura, no podrá subestimarse su impacto en áreas tan distantes como la microeconomía, la psicología del aprendizaje y la dinámica de grupos en sociología, por citar solamente algunos ejemplos de interés. Es más, y aquí la expectación es grande, existe una posible conexión —que va más allá de la analogía antes establecida— con el principio de indeterminación de la teoría cuántica; de prosperar la sugestiva tesis sostenida por Stephen Wolfram («A New Kind of Science»), el universo sería en último término un autómata celular, y el límite del principio de Heisenberg (es decir, el valor , donde h es la constante de Planck) estaría estrechamente conectado, en la escala de Planck naturalmente, con el límite milientas. Ni que decir tiene que la trascendencia de este hecho en la física sería imponderable, puesto que equivale a la demostración matemática de lo que ahora ha de aceptarse como un principio, que en definitiva es la base de toda la cuántica. Al tiempo corresponde decir la última palabra.

Digamos para terminar que, en rigor, debiéramos haber esperado al día 28 de diciembre para enviar este artículo a Carrollia, ya que esa es la fecha límite que se ha concedido para pronunciarse definitivamente el equipo de arbitraje encargado por la Sociedad Matemática Europea de revisar la demostración de la conjetura de Pérez Parra. El lector interesado podrá consultar en dicha fecha la página www.arxiv.org, en la que se publicará muy probablemente la confirmación de la misma.

Pedro Crespo, 4 noviembre 2004