PROBLEMAS ANTIGUOS

Antonio Casao remite estos problemas, todos los cuales tienen en común su antigüedad. Todos resultan muy fáciles hoy con el uso de la poderosa herramienta que ha supuesto el álgebra, pero la gracia está en resolverlos sin ayuda de ella, mediante el mero razonamiento, como tuvieron que hacer en su día quienes los propusieron.

Problema 1.

Una nave sale de Nápoles hacia Barcelona y hace su viaje en 30 días. Otra sale de Barcelona hacia Nápoles y hace el viaje en 20 días. Las dos salen al mismo tiempo. Os pido: ¿En cuánto tiempo se deben encontrar?

(De Aritmética, obra publicada por Joan Ventalllol en 1521.)

Solución. La primera nave recorre en un día 1/30 de su recorrido, y la segunda 1/20. Por tanto, ambas se aproximan 1/30 + 1/20 = 1/12 del camino. Es obvio que se encontrarán a los 12 días.

Problema 2.

Similar al anterior. Soy un león de bronce que está en el centro de un estanque. Salen chorros de agua por mis ojos, por la boca y por la planta del pie derecho. El chorro del ojo derecho llenaría, por sí solo, el estanque en dos días; el del izquierdo en tres; el del pie, en cuatro, y el de la boca en seis. ¿En cuanto tiempo se llena el estanque con los cuatro chorros?

(De la Antología griega, una colección de 48 problemas del año 500 aJC).)

Solución. El ojo derecho llena cada día 1/2 del estanque, el izquierdo, 1/3, el del pie, 1/4, y el de la boca, 1/6. Todos conjuntamente, llenan 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 = 5/4. Lo llenarán en 4/5 de día.

Problema 3.

Un gallo cuesta 5 piezas de dinero, una gallina 3 piezas y tres pollos 1 pieza. Si con 100 piezas de dinero compramos un total de 100 aves, ¿cuántos gallos, gallinas y pollos habrá?

Solución. Éste es más complejo. El número de pollos deberá ser un múltiplo de 3, conque oscilará entre 3 y 99 (más exactamente, entre 3 y 90, pues debe haber al menos un gallo y una gallina, que valen al menos 8 unidades monetarias). Los valores posibles para la suma de gallos y gallinas son 10, 13, 16, 19,…97. Cinco veces los gallos más tres veces las gallinas más los terci-pollos es lo mismo que los gallos más las gallinas más tres veces los terci-pollos, conque cuatro veces los gallos igualan 2 veces los terci-pollos menos dos veces las gallinas. O sea que las gallinas menos los terci-pollos igualan al doble de los gallos. De ahí, por tanteos, se obtiene el resultado:

Gallos	Gallinas	Pollos
4 8 12	18 11 4	78 81 84

(Hay que añadir que éste es el mas difícil sin las modernas técnicas de las ecuaciones diofánticas.)

Problema 4.

Un capitán llevaba en su compañía ciertos soldados. Cuando los ponía en hilera de 2 en 2 le sobraba un soldado, asentándoles de 3 en 3 le sobraban 2, de 4 en 4 le sobraban 3 y de 5 en 5 le sobraban 4. De 6 en 6 le sobraban 5, y finalmente asentándoles de 7 en 7 la cuenta venía justa. Pregunto: ¿Cuántos soldados llevaba el dicho capitán?

(De Aritmética practica, obra publicada por Jerónimo Cortés en 1604.)

Solución. De lo dicho se deduce que el número de soldados es un múltiplo de 2 menos uno, un múltiplo de 3 menos uno, y así sucesivamente hasta múltiplo de 6 menos 1, pero es múltiplo de 7. El menor número que es simultáneamente múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6 es su mcm., o sea 60. Por ello 59 podría ser un candidato, pero no es múltiplo de 7. Probemos con el siguiente mcm, que es 120. Ahora sí es 119 múltiplo de 7. Ésa es la menor solución. Naturalmente habría otras: 539, 1059, 1479…, obtenidas sumando a la primitiva el valor 420, múltiplo de todos los números.

JMAiO, ago 02