Teoremas y otros bichos.

El mundo de las matemáticas está colmado de teoremas, fórmulas, ecuaciones, problemas, algoritmos, curvas, etc. que son conocidos por el nombre del matemático que real o supuestamente los enunció, demostró o resolvió.

Unos, sin duda, son conocidos por todos los que hayan realizado estudios medios, como el famosísimo teorema de Pitágoras o el no menos conocido binomio de Newton, la fama de otros sólo alcanza al grupo de los iniciados en el estudio de las diversas ramas de la matemática o de la ingeniería.

Merece la pena recordar a estos insignes matemáticos a través de los enunciados que llevan sus nombres.

Teorema de Tales. (625 – 546 a C)

Una familia de rectas paralelas, que cortan a dos rectas concurrentes, determinan en éstas segmentos proporcionales.

Teorema de Pitágoras. (c 500 a C)

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Al parecer, esta propiedad era conocida un milenio largo antes de la existencia de su pretendido autor.

Algoritmo de Euclides. (c 300 a C)

En la teoría de la divisibilidad hay un teorema fundamental que dice: Los divisores comunes a dos números son los comunes al menor de ellos y al resto, por defecto o por exceso, de la división de ambos. Este teorema conduce al algoritmo de Euclides que facilita hallar el m.c.d. de ambos números.

Criba de Eratóstenes. (276 – 194 a C)

Método para registrar los primos inferiores a un cierto límite. Se escribe la sucesión de los números naturales hasta dicho límite, prescindiendo de los pares mayores que 2. Partiendo de 3² se tachan los números de 3 en 3. El primero que queda sin tachar es el 5, y a partir de su cuadrado, 25, se tachan de 5 en 5. Así se sigue hasta llegar al máximo número sin tachar cuyo cuadrado no exceda del límite superior de la tabla.

Línea de Philo. (c 250 a C)

Dados los dos lados de un ángulo y un punto X en su interior, el segmento más corto AB que pasa por X delimitado por los lados del ángulo recibe el nombre de línea de Philo.

Problema de Apolonio de Perga. (c. 225 a C – c 175 a C)

Apolonio fue el primero en plantear y resolver el problema de construir una circunferencia tangente a otras tres dadas. Tiene ocho soluciones. En la figura pueden verse dos; las líneas que unen los puntos de tangencia concurren en un punto X.

Si las 3 circunferencias son tangentes entre sí externamente, existen otras dos tangentes a las 3, una interna y otra externa que reciben el nombre de círculos de Soddy (1877 – 1956). Esta fórmula, que lleva el nombre de Descartes, relaciona sus 4 radios: , donde

Teorema de Ptolomeo. (S II d C)

Se refiere a las fórmulas trigonométricas que proporcionan las razones correspondientes a la suma o diferencia de dos ángulos.

Otro teorema también llamado de Ptolomeo dice que en todo cuadrilátero cíclico, la suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de las diagonales.

AB.CD + BC.DA = AC.BD.

Teorema de Pappus. (c 320 d C)

En el libro VII de la obra de Papus Colección matemática, hay una proposición que más tarde se denominó teorema de Pappus – Gouldin, por el nombre del matemático suizo Paul Gouldin (1577 – 1643) que la redescubrió y que dice así: Toda superficie de revolución es igual al producto del perímetro de la sección generadora por la circunferencia descrita por el centro de gravedad de dicho perímetro.

Fórmula de Herón. (20 – 62 d C)

Expresa el área de un triángulo en función de sus lados, siendo p el semiperímetro

Teorema de Menelao. (c 100 d C)

Cuando un triángulo ABC es cortado por una transversal acb existe, entre los segmentos que esta recta determina sobre los lados, la relación:

Ecuaciones diofánticas. (Diofante, mediados del S III d C)

La resolución en el campo de los números naturales de una ecuación algebraica con varias incógnitas, esto es, la determinación de los números naturales que la satisfacen, se llama problema diofántico.

Sucesión de Fibonacci. (1170 – 1250)

Es la siguiente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... , en la que cada término a partir del tercero es la suma de los dos anteriores. La sucesión formada por las razones entre cada número de Fibonacci y el anterior, tiene como límite la razón áurea que se suele representar por

. Si a le restamos la unidad obtenemos su recíproco siendo el único número con esta propiedad.

Logaritmos neperianos. (Napier 1550 – 1617)

Napier o Neper, publicó en 1614 las primeras tablas de logaritmos. Los que tienen como base el número e reciben el nombre de neperianos.

Primos de Mersenne. (1588 – 1648)

Son números primos de la forma 2^p – 1, con p primo. En 1995, el mayor primo de Mersenne conocido era 2^1257787 – 1. En 2003 se descubrió el 40º en que p vale 20.996.011, consta de 6.320.430 dígitos.

Teorema de Desargues. (1591 – 1661)

Dados dos triángulos ABA y A’B’C’ (en el plano o en el espacio), si las rectas (A,A’), (B,B’) y (C,C’) son concurrentes, las rectas de los lados correspondientes de ambos triángulos se cortan en puntos colineales. La figura es una prueba sin palabras.

Teorema de Cavalieri. (1598 – 1647)

Si dos sólidos tienen la misma altura y las secciones paralelas a sus bases, a la misma distancia de éstas, tienen áreas iguales, ambos sólidos tienen el mismo volumen.

Ultimo teorema de Fermat. (1601 – 1665)

Afirma que para cualquier entero n > 2, la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ carece de soluciones enteras positivas. Hasta 1994 no se ofreció una demostración, debida a Wiles, que fue complicada y ocupaba centenares de páginas de alta matemática.

Dado un triángulo hay un punto llamado de Fermat tal que la suma de distancias de este punto a los vértices del triángulo es mínima. Torricelli fue retado por Fermat a encontrar este punto.

Ecuación de Pell. (1610 – 1685)

Es la ecuación diofántica , donde n es un entero que no sea cuadrado perfecto. Lagrange demostró que esta ecuación tiene infinitas soluciones. Euler, equivocadamente le dio el nombre de Pell.

Producto de Wallis. (1616 – 1703)

Está formado por Este producto se va aproximando al valor de p/2 a medida que va aumentando el número de factores.

Triángulo de Pascal. (1623 – 1662)

Disposición triangular de números combinatorios en que cada número es igual a la suma de los dos que tiene encima.

Teorema de Pascal.

(Véase su dual llamado teorema de Brianchon)

Binomio de Newton. ( 1642 – 1727)

Esta es la fórmula impropiamente llamada del binomio de Newton ya que en realidad es de Tartaglia, matemático italiano del siglo XVI

Teorema de Ceva. (1648 – 1734)

Las rectas trazadas desde un mismo punto O a los vértices de un triángulo ABC encuentran a los lados opuestos, considerados como indefinidos, en tres puntos a, b, c, que satisfacen la relación:

Fórmula de Moivre. ( 1667 – 1754)

Esta fórmula tiene como expresión: que combinada con el binomio de Newton, permite hallar el seno y el coseno de un ángulo múltiplo en función del simple.

Conjetura de Goldbach. (1690 – 1764)

Según ella, todo entero par mayor que 4, sería la suma de dos primos. Nadie ha conseguido hasta ahora refutarla o demostrarla, siendo uno de los más famosos problemas no resueltos de la Teoría de Números.

Fórmula de Stirling. (1692 - 1770)

Es la fórmula que proporciona la aproximación de n! para valores grandes de n.

Esta fórmula se debe en realidad a Moivre.

Teorema de Bayes. (1702 – 1761)

Se aplica al cálculo de probabilidades a posteriori. Dice así:

Sean A₁, A₂, A_{3, ...,} A_n sucesos mutuamente excluyentes cuya unión sea la totalidad del espacio muestral de cierto experimento, y sea B un suceso con probabilidad no nula. Entonces,

Regla de Cramer. (1704 – 1752)

Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas cuyo determinante no es nulo, tiene solución única. El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo por el determinante del sistema, el determinante formado sustituyendo por los términos constantes que están en los segundos miembros, la columna que forman los coeficientes de dicha incógnita.

Identidad de Euler. (1707 – 1783)

Se conoce con este nombre la identidad . Un caso particular notable por reunir a los números 0, 1, i, p y e, es e^ip + 1 = 0.

Euler demostró que en un triángulo, el circuncentro, el ortocentro y el punto en que se cortan las medianas están alineados en la llamada línea de Euler.

Regla de Simpson. ( 1710 - 1761)Es un método para obtener valores aproximados de una integral definida , utilizando los valores de la función f en puntos igualmente espaciados entre a y b.

Cúbica de Agnesi. (1718 – 1799)

Descubierta por esta insigne matemática, su ecuación es yx² =4 a²(2a – y) en que a es el radio de la circunferencia base. Recibe también el nombre de la “bruja de Agnesi” debido a un error de traducción del italiano “versiera” por “witch”, bruja en inglés.

Entre otras curvas famosas podemos citar la cisoide de Diocles, la lemniscata de Bernouilli, la concoide de Nicomedes, la hoja de Descartes y el caracol de Pascal.

Teorema de Monge. ( 1746 – 1818)

Dados tres círculos, las tangentes externas a cada par concurren en puntos A, B y C que están en línea recta.

Regla de Ruffini. (1765 – 1822)

Es un método para obtener el cociente y el resto de la división de un polinomio f(x) por x - h, operando únicamente con los coeficientes del polinomio.

Series de Fourier. (1768 – 1830)

Se llaman así las series trigonométricas del tipo

½ a₀ + (a₁ cos x + b₁ sen x) + (a₂ cos 2x + b₂ sen 2x) + …+ (a_n cos nx + b_n sen nx) + …

Cobraron importancia cuando se comprobó que gráficas con saltos o discontinuidades podían representarse mediante tales series.

Campana de Gauss. ( 1777 – 1855)

Esta curva representa la distribución continua de probabilidad que se utiliza con frecuencia en estadística. Hay otros tipos de distribuciones conocidas por los nombres de Student, Bernouilli, Poisson, Pearson y Fisher-Snedecor.

Teorema de Brianchon. ( 1783 – 1864)

Si los seis lados de un hexágono son tangentes a una cónica, ocurre que las líneas que unen vértices opuestos concurren en un punto. Este es el dual de otro teorema descubierto por Pascal que dice: dado un hexágono inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados opuestos se encuentran alineados.

Banda de Möebius. (1790 – 1868)

Se trata de una superficie con una sola cara.

Esferas de Dandelin. (1794 – 1847)

La elipse es una sección cónica. Dadas dos esferas en el interior, tangentes a la superficie cónica y al plano de la elipse, tocan a este plano en los focos de la curva.

Teorema de Van Aubel. (1830 – 1906)

Si se construyen cuadrados sobre los cuatro lados de un cuadrilátero cualquiera, las dos rectas que unen los centros de cuadrados opuestos son iguales y perpendiculares.

Triángulo de Morley. ( 1860 – 1937)

En cualquier triángulo, los puntos de intersección de trisectrices adyacentes de los ángulos constituyen los vértices de un triángulo equilátero. Es curioso que este simple hecho de la geometría euclídea no se descubriera hasta los tiempos recientes.

Teorema de Holditch. ( 1864 – 1937?)

Si una cuerda de una curva convexa cerrada, de longitud constante a + b, es dividida en dos partes de longitudes a y b respectivamente, la diferencia S entre las áreas definidas por la curva cerrada, y por el lugar geométrico descrito por el punto de división, es:

S = p a b

Cadena de Markov. ( 1856 – 1922)

Dado un proceso estocástico X₁, X₂, X₃, ..., en el que el espacio de estados es discreto, constituye una cadena de Markov si la probabilidad de que X_n+1 tome determinado valor sólo depende del valor de X_n y no del resto.

Curva de Peano. (1858 – 1932)

Tomemos la diagonal de un cuadrado. Sustituyámoslo por la 9 diagonales de los cuadrados más pequeños obtenidos al dividir cada lado en tres partes iguales. Reemplacemos de nuevo en cada uno de esos 9 cuadrados la diagonal seleccionada por otra poligonal formada por diagonales de 9 cuadrados más pequeños. La curva de Peano es la que se obtiene llevando al límite ese proceso. Esta curva tiene la notable propiedad de que pasa por cada uno de los puntos del cuadrado original, es decir llena esa región del plano.

Teorema de Pick. ( 1859 – 1943)

El área de un polígono cuyos vértices están situados en los puntos de una retícula cuadrada (medida en cuadrados de la retícula), viene dada por la fórmula Área = N + ½ B – 1, donde N es el número de puntos de la retícula que se encuentran en el interior del polígono y B el de puntos de la retícula que se encuentran sobre el perímetro, incluidos los vértices.

Décimo problema de Hilbert. ( 1862 – 1943)

Es el propuesto por este matemático alemán: hallar un algoritmo capaz de determinar si una ecuación diofántica dada posee o no soluciones. En 1970 se probó que no existe tal algoritmo.

Curva de Koch.-(1870 – 1924)

En un triángulo equilátero se reemplaza el tercio interior de cada lado por dos lados más pequeños, que formarían un triángulo equilátero con el tercio borrado. Se obtiene la curva repitiendo la operación indefinidamente. (Ver figura). El interior de esta curva tiene área finita, pero la longitud de la misma es infinita.

Teorema de Johnson. (Roger A. Johnson 18..?)

Si tres circunferencias iguales pasan por un mismo punto P, entonces sus otros tres puntos de intersección están sobre una cuarta circunferencia del mismo radio.

Teorema de Gödel. (1906 – 1978)

Demostró en 1931 que en cualquier sistema axiomático hay proposiciones indecidibles dentro del mismo sistema, es decir, cuya verdad o falsedad no puede probarse.

Conjunto de Mandelbrot. ( 1924)

Es el conjunto de los puntos c del plano complejo para los que una aplicación repetida de la función f_c(x) = z² + c a partir del origen produce una sucesión acotada. Se trata de un conjunto extraordinariamente complicado, cuyo borde o frontera es un fractal geométrico.

Sin duda esta relación podría incrementarse con otros muchos nombres de insignes científicos como Maclaurin, Kepler, Boole, Descartes, ... pero conviene poner punto final para no cansar al lector.

Madrid, marzo 2004.

Aristogeronte.