Retos matemáticos del
Instituto Clay para el siglo XXI
P frente a NP
Un problema se dice que es de "decisión" si se puede resolver con un "sí" o un "no", por ejemplo "¿es 184800416805574528952927 un número compuesto?" La clase P consiste en los problemas de decisión que son fáciles de resolver, por ejemplo "¿es N un número par?" (basta mirar la paridad de la última cifra). La clase NP la componen los problemas en los que una respuesta afirmativa es, en principio, fácil de verificar, por ejemplo "¿es N un número compuesto?" (si la respuesta es afirmativa se podría verificar por ejemplo mostrando dos números a y b mayores que 1 cuyo producto sea N). Nótese que una solución fácil de verificar no es necesariamente fácil de hallar (por ejemplo, sin una pista como los factores de N no es claro que podamos responder rápidamente la pregunta "¿es N un número compuesto?"). Por lo tanto la clase de problemas NP es probablemente más amplia que la P, sin embargo nadie ha podido demostrarlo hasta ahora.
Conjetura de Hodge
En el siglo XIX se descubrieron técnicas para investigar la forma de complicados objetos geométricos a base de considerarlos formados por bloques simples de dimensión creciente. La teoría resultó ser tan útil que se generalizó a otros campos, pero al precio de perder la intuición geométrica inicial. La conjetura de Hodge enuncia un resultado de este tipo en un terreno más bien abstracto. Su formulación precisa dice lo siguiente: "En una variedad no singular proyectiva sobre los números complejos, toda clase de Hodge es una combinación lineal racional de clases cl(Z) de ciclos algebraicos."
Conjetura de Poincaré
Imaginemos que consideramos equivalentes dos objetos cuando es posible deformar continuamente (sin pegar ni cortar) uno de ellos hasta formar el otro. Por ejemplo un balón de rugby será equivalente a un balón de fútbol, y una taza con un asa es equivalente a una rosquilla. Sin embargo una rosquilla no es equivalente a un balón, la rosquilla no se puede deformar continuamente hasta formar un balón, porque la rosquilla tiene un agujero y necesitamos cortarla para hacerlo desaparecer.
En este sentido una superficie esférica se puede caracterizar como una superficie cerrada sobre sí misma y sin agujeros. La conjetura de Poincaré dice que es posible establecer una caracterización similar para hipersuperficies esféricas de dimensiones superiores. Dicha conjetura ha sido demostrada para todas las dimensiones mayores que 3 (y por supuesto para dimensiones 1 y 2), pero continúa abierta en dimensión 3.
Hipótesis de Riemann
La función z(s) = 1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s +... está bien definida y converge para todo número complejo s cuya parte real es mayor que 1. La llamada función zeta de Riemann es la prolongación analítica de la función de arriba a todo el plano complejo. Se sabe que z(s) vale cero en los números pares negativos (ceros "triviales"), y que sus restantes ceros (no triviales) están confinados en la franja 0 < Re(s) < 1, donde Re(s) representa la parte real de s. Sin embargo todos los ceros no triviales de z(s) que se han podido encontrar están en la línea Re(s)=1/2. La conjetura de Riemann dice que todos los ceros no triviales de z(s) están de hecho en esa línea.
La Hipótesis de Riemann tiene consecuencias importantes en diversas ramas de la Teoría de Números, por eso su demostración se considera un importante tema pendiente. Muchos teoremas establecen resultados que se podrían mejorar automáticamente si la Hipótesis de Riemann fuera cierta. Dichos teoremas están redactados así: "Bla, bla, bla, pero si la Hipótesis de Riemann es cierta entonces bla, bla, bla". Tan pronto como la Hipótesis de Riemann se consiguiera demostrar, los enunciados de todos esos teoremas se simplificarían automáticamente.
Teoría de Yang-Mills
La teoría de Yang-Mills es el marco matemático en el que se desarrolla la cromodinámica cuántica (teoría de los quarks) y otras teorías cuánticas de campos. El problema consiste en dar un fundamento matemático riguroso en el marco de esa teoría a ciertas propiedades de las interacciones nucleares fuertes, tales como el hecho de que son de corto alcance (esto implica que hay una laguna de masa o mass gap, es decir, toda excitación del vacío debe poseer una energía por encima de cierto mínimo) y el confinamiento de los quarks (no es posible observar quarks aislados).
Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen la dinámica de un fluido incompresible. Dichas ecuaciones ligan las velocidades de las partículas del fluído, su viscosidad, presión y fuerza exterior aplicada (digamos, la de gravedad). Las soluciones deben verificar ciertas condiciones iniciales, más ciertas restricciones diseñadas para asegurar que las soluciones son físicamente significativas.
El problema consiste básicamente en estudiar la existencia y diferenciabilidad de las soluciones de estas ecuaciones.
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
La formulación precisa de este problema es demasiado técnica, pero sus consecuencias son fáciles de entender. Antes de que Wiles probara el último teorema de Fermat el mejor resultado obtenido hasta la fecha era una consecuencia del teorema de Faltings ("toda curva algebraica de género mayor que 1 tiene un número finito de puntos racionales"), el cual implicaba que la ecuación de Fermat para n > 2 (y muchas otras ecuaciones diofánticas similares) tiene a lo sumo un número finito de soluciones no triviales. Así pues para una amplia clase de ecuaciones diofánticas sabemos que su número de soluciones es finito, pero no disponemos de ningún procedimiento para hallar dichas soluciones (caso de que haya alguna). La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer proporcionaría un método efectivo para hallar tales soluciones.
Para más información ver:
http://www.claymath.org/prize_problems/index.htm