La fórmula de De Moivre-Stirling.

En la excelente recopilación de Teoremas y otros bichos de Aristogeronte publicada en [C-81], se dice al hablar de la fórmula de Stirling que es debida en realidad a De Moivre. Esto es en gran medida así, salvo un detalle debido al cual, unido a otro que comentaremos y que a nuestro parecer también pesó lo suyo, la fórmula se atribuye en exclusiva a Stirling.

De Moivre, preocupado por hallar un método que le permitiera soslayar los tediosos cálculos que conllevan los factoriales de números grandes, terminó por encontrar la fórmula

útil para valores grandes de n. Esta fórmula aparece en un artículo escrito en 1733 y presentado en privado a algunos de sus amigos. En ese trabajo demostraba De Moivre que, en el caso de probabilidad 1/2, la distribución binomial se podía aproximar mediante una función continua, la curva normal. Con el tiempo se descubrió que dicha curva resultaba útil para más aplicaciones de las imaginadas inicialmente.

Fue al escocés James Stirling (1692 –1770) al que cupo el mérito de dar con la constante c, cuyo valor es . Poca cosa si bien se mira, pero que otorga a la fórmula su expresión definitiva.

Abraham De Moivre nació en 1667 en Vitry, en la provincia francesa de Champagne, en el seno de una familia protestante. En 1685, Luis XIV revocó el edicto de Nantes (un decreto de 1598 que garantizaba libertad religiosa a los protestantes franceses), lo que llevó a De Moivre a la cárcel por dos años, motivando que buscara después refugio en Londres, donde vivió el resto de sus días. Allí estudió a fondo los Principia de Newton, tarea de la que muy pocos eran capaces (Newton no recurrió a su cálculo de fluxiones, y todo el libro está formulado «more geometrica», con resultado plúmbeo), dominando la materia hasta el punto de que el propio Newton derivaba hacia De Moivre las preguntas que se le hacían sobre el asunto, con notas del estilo «Pregunten al Señor De Moivre, que conoce estas cosas mejor que yo».

De Moivre entró en relación con el círculo de amigos de Newton (Edmund Halley, John Wallis, Roger Cotes), y fue elegido en 1697 miembro de la Royal Society. No obstante, su condición de no inglés le impidió alcanzar un puesto académico (a pesar de que el mismo Leibniz intercedió en su favor), y hubo de ganarse la vida impartiendo clases y solucionando en los pubs los problemas que le planteaban aficionados a los juegos de azar. Es muy posible también que esa condición de francés en Inglaterra borrara su nombre de la fórmula de Stirling, que en propiedad debería conocerse como fórmula de De Moivre-Stirling.

Se dice que, ya anciano, cayó en la cuenta de que necesitaba dormir veinte minutos más cada día, y calculó la fecha en que acumularía 24 horas, y que anunció como fecha de su muerte, como así fue. La causa oficial quedó registrada como «somnolencia». Era el 27 de noviembre de 1754 y De Moivre tenía 87 años.

Pedro Crespo, agosto 2004