Breve paseo por el mundo de los sólidos arquimedianos

Tras los cinco poliedros regulares o platónicos surge otra colección de cuerpos de gran belleza y regularidad, los llamados sólidos arquimedianos, por ser Arquímedes el primero que los nombra, aunque algunos eran conocidos desde mucho antes. Se define un poliedro arquimediano o semirregular el que tiene como caras polígonos regulares de dos o más clases, iguales entre sí por clases, y dispuestos de la misma manera en cada vértice.

Los poliedros arquimedianos pueden ser obtenidos mediante manipulaciones de los platónicos, sean apuntamientos o biselados, reiterados varias veces. Empecemos por los más sencillos.

Obtenidos por apuntamientos:

Se apuntan los vértices de los sólidos platónicos en cuantía suficiente para que las caras de éste se conviertan en polígonos regulares de un número de lados doble. Los vértices, según su orden, quedan sustituidos por triángulos, cuadrados o pentágonos.

Tetraedro truncado. Es el más simple de todos, con 4 caras hexagonales y 4 triangulares.	Octaedro truncado, con 14 caras, llamado por ello también tetracaidecaedro. Es el único que puede pavimentar el espacio mediante copias de sí mismo.	Icosaedro truncado. Consta de 12 pentágonos y 20 hexágonos. Su forma se ha hecho familiar por los balones de fútbol.

Cubo truncado. Familiar en decoración (pisapapeles, lámparas) al ser una versión del cubo sin vértices agudos.	Dodecaedro truncado. De utilidades análogas a las del cubo truncado.

Poliedros semirregulares por excelencia.

Estos apuntamientos pueden hacerse más intensos, de forma que lleguen a juntarse unos con otros, definiendo un nuevo poliedro. Así el cubo y el octaedro, poliedros conjugados, convergen a un solo sólido, el cuboctaedro, y análogamente ocurre con el dodecaedro y el icosaedro.

Estos dos poliedros reciben el nombre de “semirregulares por excelencia”, al estar cada cara de una clase completamente rodeadas por caras de la otra. Son los únicos arquimedianos en que se cumple esta propiedad.

Cuboctaedro. Familiar también el objetos de uso diario, como pisapapeles.	Icosidodecaedro.

El grupo rómbico.

Puede utilizarse otro tipo de manipulación con los poliedros regulares. Si trasladamos las caras del hexaedro paralelamente a sí mismas hacia el exterior definimos el rombicuboctaedro. Análogamente ocurre con otros poliedros. Todos ellos reciben el prefijo rombi- al tener planos en común con el cubo, el octaedro y el dodecaedro rómbicos o el icosaedro, el dodecaedro y el triacontaedro rómbicos, poliedros no arquimedianos pero de interesantes propiedades.

Rombicuboctaedro. Si giramos el “piso” superior 90º obtenemos una figura muy parecida, que no es arquimediana al no cumplirse la condición de que todos los vértices deben ser del mismo tipo.	Rombicosidodecaedro. Resultado del mismo procedimiento anterior aplicado al dodecaedro o al icosaedro.

Gran Rombicuboctaedro. El mismo procedimiento aplicado a las caras octogonales del cubo truncado a las hexagonales del octaedro truncado.	Gran rombicosidodecaedro. Obtenido desde las caras decagonales del dodecaedro truncado o las hexagonales del icosaedro truncado.

Los romos.

Sorprendentemente, otros dos poliedros arquimedianos tienen versiones quirales, es decir, se producen en las versiones especulares, dextrógira y levógira. Se obtienen mediante nuevas traslaciones y apuntamientos.

Cubo romo (versiones dextrógira y levógira)	Dodecaedro romo (versiones dextrógira y levógira).

Los prismas y prismatoides.

Si contamos los romos como un solo poliedro, el número de éstos se eleva a 13. ¿Hay más? ¡Sí, infinitos más! Un prisma puede ser diseñado de modo que sus caras laterales sean cuadrados. En un prismatoide o antiprisma, las caras laterales son triángulos, y las bases están giradas entre sí. Puede diseñarse un prismatoide de forma que sus caras laterales sean triángulos equiláteros.

Estos tipos de prismas y prismatoides cumplen con todas las condiciones de poliedro arquimediano. Veámoslo en este ejemplo referido al pentágono:

Ambos poliedros deberían ser considerados en rigor arquimedianos, aunque en la práctica se hace un grupo aparte con ellos.

El prismatoide es utilizado como cuerpo aproximativo de volúmenes más complicados, al ser fácil el cálculo de su volumen.

JMAiO, BCN, nov 05

(Figuras cortesía de http://www.mat.puc-rio.br/~inicient/5_poliedros/poli_arquimedes.htm)