El
rombododecaedro y el octaedro truncado: dos poliedros únicos
Entre el infinito surtido de poliedros existe
una jerarquía. Por supuesto que la cumbre la ocupan los llamados sólidos
platónicos o poliedros regulares: tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro
e icosaedro, asociados con el universo y protagonistas de infinitas
asociaciones y propiedades. Pero no vamos a tratarlos aquí hoy.
El segundo lugar en la escala pertenece sin
duda a los llamados poliedros semirregulares o arquimedianos: aquéllos cuyas
caras son polígonos regulares de dos o tres clases, por supuesto iguales entre
sí por clases, dispuestos de la misma forma en cada vértice. Todos pueden
obtenerse mediante truncaduras y/o biselados de los poliedros platónicos. Algunos
son muy conocidos, como el cuboctaedro, muy frecuente en objetos de la vida
diaria (formado por cuadrados y triángulos, resultante de la truncadura de un
cubo o de un octaedro), o el icosaedro truncado, de nombre bien expresivo, y
bien popularizado por los balones de fútbol.
Pero uno de ellos merece especial atención.
Se trata del octaedro truncado, una variedad similar al anterior cuboctaedro,
formado a partir del octaedro, aunque con apuntamientos menos enérgicos que el
cuboctaedro, de forma que está compuesto por 8 hexágonos y 6 cuadrados, 14
caras en total, por lo que recibe también el nombre de tetracaidecaedro.
¿De dónde procede su singularidad? De que es
el único poliedro semirregular que puede llenar el espacio por repetición de sí
mismo. La propiedad de llenar el plano, más sencilla, se da a menudo con los
polígonos regulares (triángulo, cuadrado y hexágono), pero el espacio sólo se
puede pavimentar, entre los poliedros regulares, por el cubo, como es bien
conocido y notorio. El plano se puede pavimentar con multitud de polígonos
“casi regulares”, pero el espacio es muy resistente a mostrar tal propiedad. De
hecho, entre los semirregulares, el citado tetracaideacaedro es el único que la
cumple.
Además, esconde un inesperado hecho: uniendo
los extremos de sus aristas con su centro se produce un ángulo central que es
el mismo que el ángulo agudo del famoso triángulo pitagórico de lados 3:4:5,
utilizado (se dice) por los antiguos canteros egipcios para definir un ángulo
recto.
Pasemos ahora al tercer escalón jerárquico
entre los poliedros, que será ocupado por aquéllos que, sin que sean sus caras polígonos regulares, son al menos todas iguales entre sí.
Existen multitud de los formados por triángulos, por ejemplo, las infinitas bipirámides
imaginables (parejas de pirámides iguales unidas por sus bases). También es
posible pavimentar el espacio con infinitos tipos de ortoedros y hexarromboedros, pero, en cuanto pasamos a poliedros de
otro tipo, el repertorio se reduce drásticamente.
Bueno, pues uno de los pocos candidatos a
llenar en espacio es el rombododecaedro, cuerpo formado por doce rombos iguales
dispuestos según la figura. El cuerpo es inscriptible en una esfera, y de hecho
es el resultado de la expansión de doce esferas de igual radio tangentes a
ella.
Esto requiere una breve explicación. Es
sabido que alrededor de una esfera pueden llegar a colocarse hasta doce del
mismo radio y tangentes, pero éstas no pueden “llenar” todo el entorno de la
esfera mediante tangencias entre sí, al modo como, en el plano, seis círculos
pueden ser tangentes a uno dado y entre sí. Al pasar a tres dimensiones, las
doce esferas tangentes a una dada pueden ser agrupadas en grupos de tres
tangentes entre sí, cada “racimo” dispuesto según los vértices de un tetraedro
concéntrico con la esfera de partida.
La figura aclara lo que decimos. Obsérvese
que en el rombododecaedro hay dos clases de vértices:
en 8 de ellos concurren cuatro aristas, y en los otros 4, tres aristas; éstos
serían los centros de los grupitos de 3 esferas. El cálculo muestra que se
cumple en los ángulos de los rombos que cos α = 1/3, es decir, α =
70,5288º, y su suplementario, 109,4712º. Curiosamente, ambos valores están en
una relación muy cercana a la armónica.
Si esta forma de visualizar el rombododecaedro es poco grata a la intuición, puede éste
también imaginarse como generado por un serie de planos que contienen cada uno
la arista de un cubo, formando ángulos de 45º con las caras concurrentes en
ésta. Esto, de paso, nos da otras cualidades métricas del rombododecaedro,
pues, al formar dada cara ángulos de 45º con las del cubo, resulta de inmediato
que las diagonales de los rombos están en la relación de √2.
El rombododecaedro cumple multitud de propiedades métricas. Por ejemplo, el ángulo que forman los radios del tetraedro son iguales que los de los rombos del rombododecaedro; el rombododecaedro se puede descomponer en cuatro rombohexaedros; y los rombohexaedros se pueden dividir en dos partes iguales según se ve en la figura.
Resulta de las propiedades antedichas que el rombododecaedro es, entre las figuras limitadas por caras planas
que llenan el espacio, una de las de menor área posible para un volumen
determinado. Esto la pone en relación inmediata con el antiguo y delicioso problema
de las abejas, cuyos panales hexagonales han llamado la atención de los
matemáticos desde los tiempos de Pappus. Desde el
primer momento se había constatado el hecho de que la forma hexagonal de sus
celdillas constituía un aprovechamiento de espacio máximo con un volumen de
material mínimo, pero, ¿qué ocurría con las juntas entre unas y otras
celdillas? El avispero presenta la forma de la figura, conque resulta intuitivo
que si los tabiques de contacto de las dos filas de celdillas son terminados en
forma “puntiaguda”, se encerrará un volumen máximo con un mínimo de gasto de
cera.
El astrónomo Maraldi,
cautivado por este hecho, planteó al matemático König
el siguiente problema: “Cerrar un prisma hexagonal con un ‘techo’ formado por
tres planos de forma que el volumen encerrado sea máximo con un mínimo de gasto
de material”. König dedujo que el cierre adecuado era
el antes visto ángulo triedro del rombododecaedro, y Maraldi constató, con agrado, que los ángulos que había
calculado el matemático eran los que utilizaban las abejas para la construcción
de su panal.
Por cierto que este apasionante problema se
vio entreverado desde el primer momento con una serie de pintorescas leyendas.
La más importante de ellas dice que Maraldi había
medido el ángulo de las abejas obteniendo como, obteniendo un ángulo de 70,5º,
resultado ligeramente distinto de los 70,3º que obtuvo König…
¡por culpa de un error en la tabla de logaritmos que utilizó! El valor exacto,
que sería el practicado por las abejas, es el ángulo de 70,5288º antes visto.
Durante muchos años ha sido motivo de admiración por los incondicionales de la “sabiduría”
de la naturaleza la precisión con que los himenópteros eran capaces de
construir su panal.
En realidad, es claro que Maraldi
no pudo de ningún modo medir el ángulo de las abejas con una precisión de un minuto:
la técnica no daba para tanto en su tiempo[1].
Pero, además, ni el ángulo de las abejas es siempre exacto, ni en todo caso lo
permitirían los gruesos de las paredes, que no es uniforme, ni el vértice es un
perfecto ángulo triedro, pues está siempre redondeado por cera. Efectuadas
mediciones con el mayor rigor hoy posible, se han alcanzado valores promedios de
70,3º, lo que desde luego es una magnífica aproximación, aunque sin llegar a
los valores casi místicos que la leyenda había forjado en torno a las
industriosas abejas.
Hasta aquí los hechos, pero subsiste la
pregunta: ¿Realmente el cierre de las celdillas mediante rombododecaedros
es el más económico posible? ¡Pues no! Como hemos dicho antes, gana la partida
el tetracaidecaedro, bien es verdad que por un margen
de solamente unas décimas por ciento. Queden tranquilos, pues, los adoradores
de la perfección natural.
Josep
M. Albaigès
Torredembarra,
julio 05