RECTIFICACIÓN APROXIMADA DE UN ARCO CIRCULAR

En mi vida de ingeniero tuve necesidad en varias ocasión de resolver el siguiente problema: ¿Cuál es el valor de la rectificación s de un arco de circunferencia con una luz L y una flecha f? Se presenta a menudo en puentes de estas características, cuando se desea calcular el peso del arco.

La resolución exacta del problema exige resolver el sistema de ecuaciones:

(1)

Con los parámetros indicados en la figura.

Se trata de un sistema fácil pero engorroso: observando la figura pronto se deduce que b = a/2, conque tan a/2 = 2f/L. Una vez resuelta ésta y obtenido a, se hallará finalmente R gracias a la tercera ecuación del grupo (1), y, de este valor, el arco s gracias a la primera de las tres.

Buscando simplicidad, para valores comparativamente pequeños de f respecto a L, deduje este valor aproximado para s:

(2)

que se obtiene fácilmente de la fórmula del seno en función del arco:

La fórmula funciona bastante bien no sólo en la circunferencia, sino en arcos de tipo parabólico, siempre para valores bajos de f/L. Incluso para valores f/L < 0,30, el error no llega al 1 %.

Pero hete aquí que mi buen amigo Pedro Crespo me propuso un día un problema en cierto modo inverso: hallar la luz de un arco cuyo desarrollo fuera 1 m con una flecha de 0,40. El problema es parecido, pero esta vez se llega a la ecuación trascendente (1- cos a)/a = 2f/s, que también se puede obviar acudiendo a una fórmula aproximada, en que en (2) se pueden intercambiar s y L, transformando la suma en resta, pues los dos valores L y s difieren en un infinitésimo de segundo orden. La nueva fórmula sería:

Sin embargo, el límite de validez es ahora más restringido. El error del 1 % se alcanza para f/s = 0,20, y a partir de ahí aumenta rápidamente. Y lo bueno del caso es que nunca, para ningún valor, consigue alcanzarse el valor de partida f/s = 0,40. La gráfica de a/(1-cos a) nunca llega a valer 1/0,40 = 1,25, que sería el valor exigido. El mínimo (en la primera vuelta de circunferencia) se presenta para a = 2,7984, con un valor de la función de 1,4412. ¡Para el valor pedido, el problema es irresoluble!

JMAiO, mar 04