EL PROBLEMA DE LAS ESCALERAS

He aquí un problema para quienes gustan de la geometría métrica. ¡Atención! Parece sencillo, pero ya verán cómo se enreda solo.

Dos escaleras de distintas longitudes a y b, apoyadas en los ángulos de dos muros paralelos con el suelo, se cruzan a una altura c. Hallar el ancho u+v del muro. Aplicación para a=100; b=80; c=10. ¿Existe alguna terna de números enteros (a,b,c) para la que u+v sea también entero?

Daremos este trimestre de tiempo a nuestros audaces carrollistas para la solución.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LAS ESCALERAS

No es preciso complacerse en el formidable despliegue de ecuaciones a que da lugar el problemilla. Tomando como incógnita k se llega a

k⁴ - 2ck³ + k²(a² - b²) - 2ck(a² - b2) + c²(a² - b²) = 0

En el caso concreto propuesto:

k⁴ - 20k³ + 3600k² - 72000^k + 360000 = 0

De donde resulta k = 11,594, y de ahí u+v = 79,10.

La mínima solución entera es a = 119; b = 70; c = 30; u+v = 56.

Pueden hallarse mayores detalles sobre este curioso problema en el artículo de Martin Gardner en su sección de Mathematical Games, en el número de junio de 1970 de Scientific American.

JMAiO, enero 1990