SOBRE LOS POLIEDROS SEMIRREGULARES

Los poliedros regulares son llamados platónicos por haber sido Platón el primer autor en mencionarlos. Como es bien sabido, son el Tetraedro (1), el Octaedro (2), el Icosaedro (4), el Octaedro o Cubo (3) y el Dodecaedro (5). Va-

rios siglos más tarde Arquímedes demostró conocer otro tipo de poliedros a los que se ha llamado arquimedianos o también semirregulares por sus características.

Poliedros regulares

Un poliedro semirregular está formado por caras que son polígonos regulares, aunque de diversos tipos. Los vértices deben ser todos homólogos.

En realidad existen infinitos tipos de poliedros semirregulares, pero se todos reducen a doce individuales más dos familias. Todos, salvo estas familias, pueden ser obtenidos mediante operaciones de truncadura de los regulares.

En un poliedro regular, una truncadura regular (o sea, que intercepta longitudes iguales en cada arista concurrente) de un vértice sustituye éste por un polígono regular de tantos lados como aristas concurrían. Llamaremos "truncadura suave" la que transforma las caras del poliedro en polígonos regulares de doble número de lados, y "truncadura enérgica" aquella en que, por llegar a tocarse las truncaduras, las caras quedan reducidas a polígonos del mismo número de lados, naturalmente menores y girados respecto a los antiguos.

Los tipos más familiares de poliedros semirregulares se obtienen truncando un Tetraedro por sus cuatro vértices. Mediante una truncadura suave obtenemos el Tetraedro truncado (1), formado por cuatro hexágonos y cuatro triángulos, y con una truncadura enérgica se llega a un Octaedro. Truncando suavemente un Cubo, obbtenemos el Cubo truncado (3, seis octógonos y ocho triángulos), familiar en los cristales de pirita, y truncándolo enérgicamente llegamos al Cuboctaedro o Dymaxion (2), cuerpo muy frecuente en decoración y escultura.

Poliedros semirregulares

Truncando suavemente el Octaedro obtenemos el Octaedro truncado (4, ocho hexágonos y seis cuadrados). Una truncadura enérgica nos llevaría al Cubo. Truncaduras suaves del Dodecaedro y del Icosaedro llevan, respectivamente, al Dodecaedro truncado (10, doce decágonos y treinta triángulos) y al Icosaedro truncado (13, veinte hexágonos y doce pentágonos), éste muy familiar por ser la forma de los modernos balones de fútbol. Las respectivas truncaduras enérgicas llevarían ambas al Icosidodecaedro (8, doce pentágonos y treinta triángulos).

En fin, combinando estas operaciones con nuevas biseladuras de los lados aparecen nuevos cuerpos con hasta tres variedades de polígonos: a partir del Cubo aparece el Rombicuboctaedro (11, dieciocho cuadrados y ocho triángulos), y el Cubo Achatado (6, seis cuadrados y treinta y seis triángulos), del Octaedro sale el Gran Rombicuboctaedro o Cuboctaedro truncado (5, seis octógonos,

ocho hexágonos y doce cuadrados), del Dodecaedro y del Icosaedro obtendremos el Dodecaedro achatado (9, doce pentágonos y ochenta triángulos), el Rombicosidodecaedro (12, doce pentágonos, treinta cuadrados y veinte triángulos) y el Gran Rombicosidodecaedro (7, doce decágonos, veinte hexágonos y treinta cuadrados), el más complejo de todos.

A éstos podrían añadirse todavía otras dos especies en forma de tambor, cada una de ellas formada por infinidad de tipos. Uno es el Prisma de Arquímedes, cuerpo consistente en un prisma recto cuyas bases son sendos polígonos regulares de n lados, y las caras laterales, n cuadrados (el Cubo es un caso particular, para n=4). El otro, el Antiprisma de Arquímedes, un prismatoide de bases regulares y caras laterales triángulos equiláteros (un caso particular es el Octaedro, para n=3).

Las condiciones impuestas al principio impiden considerar como poliedros semireegulares otros cuerpos como el dodecaedro rómbico (sus caras son todas iguales, pero no son polígonos regulares), o derivaciones de los cuerpos anteriores cuyos vértices, aunque en cada uno concurren igual tipo y número de polígonos, no lo hacen siempre en el mismo orden.

Los poliedros semirregulares juegan un papel importante en Cristalografía y en Arte. Pueden ser combinados entre sí cerrando el espacio de muy diversos modos, pero éste es tema para otro día. A modo de recordatorio, se consigna seguidamente una tabla de sus características.

POLIEDROS LADOS DE NO. DE Concurr.

REGULARES LAS CARAS CARAS en cada

ni mi vértice

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1 Tetraedro 3 0 0 4 0 0 3 0 0

2 Octaedro 3 0 0 8 0 0 4 0 0

4 Icosaedro 3 0 0 20 0 0 5 0 0

3 Hexaedro 4 0 0 6 0 0 3 0 0

5 Dodecaedro 5 0 0 12 0 0 3 0 0

POLIEDROS

SEMIRREGULARES

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1 Tetraedro truncado 3 6 0 4 4 0 1 2 0

2 Cuboctaedro 3 4 0 8 6 0 2 2 0

3 Cubo truncado 3 8 0 8 6 0 1 2 0

4 Octaedro truncado 4 6 0 6 8 0 1 2 0

5 Gran rombicuboctaedro 4 6 8 12 8 6 1 1 1

6 Cubo achatado 3 4 0 36 6 0 4 1 0

7 Gran rombicosidodecaedro 4 6 10 30 20 12 1 1 1

8 Icosidodecaedro 3 5 0 20 12 0 2 2 0

9 Dodecaedro achatado 3 5 0 80 12 0 4 1 0

10 Dodecaedro truncado 3 10 0 20 12 0 1 2 0

11 Rombicuboctaedro 3 4 0 8 18 0 1 3 0

12 Rombicosidodecaedro 3 4 5 20 30 12 1 2 1

13 Icosaedro truncado 5 6 0 12 20 0 1 2 0

Prisma de Arquímedes 4 n 0 n 2 0 2 1 0

Antiprisma de Arquímedes 3 n 0 2n 2 0 3 1 0

JMAiO, mar 96