LAS OLLAS ISOCRONAS

 

            Conocida es la propiedad de las esferas isocronas: el lugar geométrico de las posiciones alcanzadas en un tiempo T por un móvil cayendo a lo largo de planos de inclinación variable que parten de un punto dado es una esfera cuyo polo Norte es el punto de partida de los planos, y el radio:

 

                                                            R = gT2/4

 

            En lo que sigue, vamos a utilizar coordenadas polares (L,φ), contando el ángulo hacia abajo. Un punto que parte del origen (0,0) tiene un medio más eficaz de desplazarse hasta el (L,φ) que deslizándose a lo largo de la recta que une ambos. Ya Bernouilli, en uno de los problemas más clásicos que se recuerdan del cálculo diferencial, halló que la braquistocrona o curva de deslizamiento en tiempo mínimo era precisamente una cicloide (curva descrita por un punto de una circunferencia cuando ésta rueda sobre una recta), de eje horizontal y que pasa por ambos puntos, con su vértice en el primero. La curva solución está en posición "boca abajo", no como en la figura. Sus ecuaciones son:

 

                                                            x = r (θ - sin θ)     

                                                            y = r (1 - cos θ)     

 

            Y el tiempo de recorrido:

 

                                                           

 

            Esto nos sugiere plantear un nuevo problema: ¿Cuál será el lugar geométrico de las posiciones alcanzadas por nuestro punto en el tiempo T de la forma más eficaz posible, es decir, según arcos de cicloide? Igualando las posiciones antes vistas con las usuales fórmulas de transformación de coordenadas polares a rectangulares, resulta:

 

                                   

L cos φ = r (θ - sin é)

                                                            L sin φ = r (1 - cos θ)

 

            Resolviendo las correspondientes ecuaciones trascendentes, será posible obtener é como función de í, de lo que resultará la expresión para L:

 

 

 

            La superficie de revolución engendrada por esta curva tiene forma de olla, por lo que la llamaremos "olla isocrona". Podemos ver en la Tabla I las coordenadas de su línea directriz, comparadas con las de la circunferencia isocrona. Vemos ambas dibujadas en el gráfico.

            Es interesante comparar los tiempos de llegada al punto de coordenadas (L,φ) con los invertidos mediante rutas menos eficaces. Consideraremos dos en particular: a lo largo del plano inclinado (ruta NC), a lo largo de un ángulo recto (NAC), y según un recorrido mixto entre ambos, con un "talud" intermedio (NBC). El análisis muestra, en este

 

último caso, que el ángulo de talud más eficaz es independiente de θ y vale α = 60o. Los tiempos respectivos, adimensionalizados dividiéndolos por el parámetro [L/g], son:

 

 

 

 

            Puede verse en la Tabla II que, con todo, las ganancias de tiempo no son tan grandes. Claro es que los tiempos son infinitos cuando el la línea de deslizamiento es horizontal (φ = 0), y coinciden cuando es vertical (φ = π/2).

 

 

                                                                                    Josep M. Albaigès

                                                                                    Barcelona, enero 1990