EL OBTUSÁNGULO ATACA POR TERCERA VEZ.

El problema se plantea de la siguiente manera. Dado un triángulo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea obtusángulo?

Ya se vio en ocasiones anteriores (Ver los artículos titulados "Un problema para obtusos" y "El obtusángulo ataca de nuevo") y se comprobó mediante simulación con el ordenador que esta probabilidad es 0,75.

En lo que sigue se aportan tres nuevas demostraciones de esta probabilidad.

El problema puede reducirse a este otro: Dados al azar tres puntos sobre una circunferencia determinar la probabilidad de que los tres se encuentren sobre una misma semicircunferencia del círculo. En estas condiciones si unimos los tres puntos, el triángulo resultante será obtuso.

Demostración I.

Sea 2c la longitud de la circunferencia. Sea x la longitud del arco comprendido entre los dos primeros puntos; sea y la longitud del arco comprendido entre el primero y el tercer punto.

Se tiene: 0 < x < 2c, 0 < y < 2c (ámbito de variación de x e y que corresponde al cuadrado de la figura).

Para que los tres puntos pertenezcan a la misma semicircunferencia, es preciso que se cumpla una de las cuatro series de condiciones:

1ª. x < c y < c

2ª. x > c y > c

3ª. x < c y > c y - x > c

4ª. x > c y < c x - y > c

condiciones que corresponden a la parte sombreada de la figura siguiente.

La probabilidad buscada será pues igual al cociente del área sombreada y el área total: P = 3c²/4c² =3/4 = 0,75

Demostración II.

Al situar al azar los tres puntos sobre la circunferencia, esta queda dividida en tres arcos cuya suma 2c es constante. Todos los casos en que uno cualquiera de los tres arcos sea mayor que c serán favorables al triángulo obtuso.

Construyamos un triángulo equilátero HIJ cuya altura HL sea igual a 2c. La suma de las tres perpendiculares OA, OB y OC trazadas sobre los lados del triángulo desde un punto O, tomado al azar dentro del mismo, cumplen la igualdad: OA + OB + OC = 2c. Hay una correspondencia biunívoca entre los tres arcos y las tres perpendiculares. Si unimos los puntos medios M, N y L de cada lado del triángulo equilátero tendremos el ámbito de variación de O dividido en cuatro áreas iguales, de las que son favorables las sombreadas, por consiguiente, P = 3/4 = 0,75

I

J

HL = 2c = OA + OB + OC

Demostración III.

De nuevo nos basamos en una circunferencia de centro O y tres puntos al azar A, B y C sobre ella. Para que el triángulo ABC sea obtusángulo los tres puntos deben quedar del mismo lado de un diámetro. Esta condición se puede caracterizar de la siguiente manera (mediremos los ángulos siempre en el mismo sentido, por ejemplo el antihorario, con lo que tendrán la misma probabilidad de tomar cualquier valor entre 0 y 360º) Para uno de los puntos, por ejemplo el A, los ángulos AOB y AOC son menores de 180º. La probabilidad de que cada uno de esos ángulos verifique la condición es 1/2 y de que la verifiquen los dos (1/2)² = 1/4. Como basta que esto suceda para uno de los puntos (y si sucede para uno ya no puede ocurrir para los otros, lo cual es necesario para que podamos sumar las probabilidades) aún debemos multiplicar esta probabilidad por 3. Así pues la probabilidad buscada es 3/4 = 0,75.

Madrid 14 de septiembre de 2000

Aristogernte