El obtusángulo ataca de nuevo.

 

En [C.55] apareció un artículo titulado "Un problema para obtusos" que trataba del siguiente problema: Supongamos un triángulo obtenido al azar, ¿qué probabilidad tiene de ser obtusángulo?

Esta probabilidad resultaba ser del 75%. Las dos pruebas aportadas eran un tanto enrevesadas. Pasado el tiempo encontré otra demostración que, de ser correcta, parece más sencilla: Para que un triángulo sea obtusángulo basta con que uno de sus tres ángulos A, B, o C, sea obtuso. La probabilidad P1 de que el ángulo A sea obtuso es 90º/180º = 1/2. Ahora bien, si A no es obtuso podrían serlo el B o el C (probabilidades mutuamente excluyentes, ya que si uno es obtuso el otro no lo será). La probabilidad de que B sea obtuso, condicionada a que A sea agudo es: P2 = 1/2 x 1/2 = 1/4.

La probabilidad buscada será pues: P = P1 + P2 = 3/4.

 

En este problema no interviene para nada el tamaño que pueda tener el triángulo, éste  quedará perfectamente definido tan pronto como demos valor a dos de sus ángulos, por ejemplo el A y el B, ya que el C sería igual a 180º - (A+B). Así pues, conseguir un triángulo al azar consistirá en obtener al azar dos de sus ángulos cuya suma ha de ser inferior a 180º.

 

Podemos simular, con la ayuda de un ordenador, la generación al azar de los dos ángulos A y B; el mismo programa investigará si el triángulo resultante es o no obtuságulo. Generaremos así tantos triángulos al azar como nos venga en gana y hallaremos la relación entre casos favorables (en que el triángulo resulta ser obtuságulo) y casos totales. Con el programa en BASIC que expongo a continuación el ordenador ha examinado 10.000.000 de casos y ha obtenido como valor de la probabilidad buscada 75,00846% es decir prácticamente 75%, valor que coincide con la probabilidad que habíamos calculado teóricamente.

Convencido plenamente de que el obtusángulo es tres veces más probable que el acutángulo mi espíritu ha quedado tranquilo y sosegado.

 

            10 CLS : RANDOMIZE (TIMER)

                20 INPUT "Número de pruebas :" , NP

                30 FOR N = 1 TO NP

                40 X = 180*RND(1) + 1 : Y = 180*RND(1) + 1

                50 IF Y < X THEN

                               A = X - Y

                               B = Y

                               C = 180 - X

                               IF A > 90 OR B > 90 OR C > 90 THEN CNT = CNT + 1

                               END IF

                60 IF Y > X THEN

                               A = X

                               B = Y - X

                               C = 180 - Y

                               IF A > 90 OR B > 90 OR C > 90 THEN CNT = CNT + 1

                               END IF

70 P = CNT/N

80 LOCATE 3,1 : PRINT "Prueba nº        : " ; N

90 LOCATE 5,1 : PRINT "Probabilidad        : " ; P

100 NEXT                                                                                              Aristogeronte

                                                                                                        Madrid, junio de 2000.