EL NÚCLEO MEDIANERO DE UNA FIGURA

José Antonio de Echagüe, fecundo proponedor de problemas, dice en una de sus cartas:

Supongamos una figura plana no necesariamente simétrica. Es obvio que tiene un punto cdg. También parece claro que existirá una recta que dividirá a la figura en dos áreas iguales. ¿Sólo una? Creo que existirán muchas. Quizás infinitas. ¿Qué hay sobre el o los puntos de corte de tales rectas?

En efecto, y el problema es un tanto enojoso, aunque no excesivamente complejo. En algunas figuras, por ejemplo el cuadrado, cualquier recta que pasa por su centro lo divide en dos partes iguales, o sea también de la misma área. Pero esto no ocurrirá siempre, incluso con figuras regulares.

Vamos a estudiar quizá la más sencilla posible, el triángulo equilátero. Recordemos que la fórmula del área de un triángulo de lados a, b, que comprenden un ángulo C, es S = ½ab sin C. Si a partir del vértice C situamos sobre los lados a y b los segmentos x,y, éstos formarán con el que une sus extremos otro triángulo cuya área, si es medianero, será igual a la de la mitad del triángulo equilátero. Si para simplificar hacemos el lado de éste igual a la unidad, resultará:

O sea:

Es fácil ver que la envolvente de todas las rectas posibles así formadas es una hipérbola cuyo eje mayor se halla en la bisectriz de C, con el vértice a una distancia del triángulo igual a (la distancia al centro es ). Las tres hipérbolas correspondientes a los lados, tangentes entre sí y a las alturas respectivas, definen un triángulo curvilíneo al que podremos llamar “núcleo medianero” por estar formado por la envolvente de las medianas.

La determinación de este núcleo en general puede ser bastante compleja, especialmente en figuras discontinuas, en las que también tendrá discontinuidades, pero, en el caso de polígonos, estará formado por segmentos de hipérbola equilátera.

JMAiO, Barcelona, abril 2001