BREVE Y APRESURADA NOTICIA
SOBRE EL CONJUNTO DE MANDELBROT
Las fractales son unos objetos cuya presencia en los
tratados y revistas de matemáticas ha ido aumentando en los últimos años. Se
caracterizan por poseer un grado de "reduplicación" interna, de modo
que cada parte del conjunto, independientemente de la escala elegida, lo
reproduce en su totalidad, como esas etiquetas en cuyo dibujo aparece la propia
etiqueta una y otra vez, hasta donde la habilidad del dibujante alcanza.
Uno de los ejemplos de fractal más singulares es el
conjunto de Mandelbrot. Su concepción, sorprendentemente simple, no permite
sospechar sus complejidades internas. Situados en el plano complejo,
establezcamos la siguiente sucesión:
ui+1 = ui2 + z
Donde z es un punto cualquiera del plano, z = x +iy. El término inicial de la
sucesión es u0 = 0 + 0i.
Se define el conjunto de Mandelbrot (abreviadamente, M)
como el de los puntos z del plano complejo para los que la paralela sucesión
formada por los módulos de los términos anteriores, 
se mantiene acotada.
La forma de M, y más precisamente su frontera, presenta
un interés extraordinario. El "cuerpo principal" presenta una forma
renoide que podemos llamar "el mandelbrotín". Sobre éste se inserta,
en el centro de su "dorso", otro mandelbrotín similar pero de un
tamaño mitad, a 1/4 y 3/4 del mismo contorno otros dos de tamaño 1/4, en los
octavos impares otros de tamaño 1/8, y así sucesivamente. Todo ello hablando
siempre en términos aproximados, pues ningún mandelbrotín reproduce exactamente
a escala los vecinos y goza de su propia "personalidad".
Un examen todavía más atento muestra mandelbrotines cada
vez más pequeños aparentemente fuera del cuerpo principal, pero ulteriores
aumentos de escala muestran que su aislamiento es falso, pues una serie de
tenues filamentos los unen entre ellos y con el mandelbrotín principal: entre
otras sorprendentes propiedades, el conjunto de Mandelbrot es conexo. Sucesivas
penetraciones de un imaginario zoom irían mostrando nuevos detalles, cada vez
más cambiantes, a niveles de escala más y más profundos.
Resulta fácil construir un programa de computadora que
compruebe punto a punto una región elegida del plano para ver si pertenece o no
a M. Una serie de consejos útiles aumentarán la efectividad de la búsqueda y la
belleza de los resultados:
1)
Puede demostrarse
que la condición necesaria y suficiente para que ui diverja es que
en algún momento se supere el valor 2. Por tanto, basta con limitar a ese tope
la búsqueda.
2)
Claro es que no
pueden efectuarse infinitas iteraciones de la operación ui2 + z.
En la práctica basta con limitarlas a unas 1000, lo que clasificará
erróneamente muy pocos puntos. Si nos conformamos con un error algo mayor, pero
todavía aceptable, la cifra de 100 puede ser también suficiente.
3)
Puede aumentarse
el detalle y la belleza en la determinación de M acudiendo al color. Para ello
es útil establecer un registro donde se anote, para cada punto de M, el número
de iteraciones que ha sido necesario para alcanzar el valor 2. Una vez
terminado el escrutinio, se asigna a cada punto un color en función del número
de reiteraciones asociado, con lo que se obtendrán bellísimos efectos. La
escala más apropiada de color se obtendrá fácilmente mediante algunos tanteos.
Recomiendo vivamente a los aficionados a la informática
la práctica del estudio de M. Cada cual puede explorar la región del plano que
juzgue más interesante, en la seguridad de que la búsqueda le resultará tan atractiva
como una excursión a un país exótico y apasionante.
El lector interesado hallará más detalles en
un interesante artículo publicado en INVESTIGACIÓN Y CIENCIA en octubre de
1985.
Barcelona, mayo 1987